ÉCHALFF. PBRMAN., A PARTIR D*UN CENTRE, D*UNE PLAQUE INDÉFINIE. II

oel c^ désignant deux constantes arbitraires,

(85) u=l [c -+- Cl log(t sin*a)] coh(vcosa)é/x.

Comme u doit rester fini (et même s'annuler) pour t infini, il faudra déterminer le rapport mutuel des deux constantes c et C|, de manière qu'il en soit ainsi. Cherchons donc vers quelle forme tend cette expression (85) quand t grandit indéfiniment. Le cosinus hyperbolique, demi-somme de deux exponentielles dont

Tune s'évanouit alors, y devient -^*^*^'***= -e ' .En faisant sortir le facteur - e^ du signe / , on a

<8f)) u=--e^ I [c--C| log(vsin*a)]c - da.

Sous le signe / , l'exponentielle décroissante rend évidemment

négligeables, quand t est très grand, tous les éléments où a a une valeur sensible, c'est-à-dire tous ceux où l'exposant tcosa — t de e est, alors, comme infini négatif. Or, dans ceux où a est, au contraire, très petit et où l'exponentielle ne s'évanouit pas, l'exposant est réductible à ; car le terme suivant de la série.

/tan a*

s'j trouve très petit de l'ordre de a^. De même, tsin^a s'y réduit à ta^. Posons donc a^/i =: P; et nous aurons, sauf erreur relative finalement nulle sur w, en observant que la nouvelle limite supérieure de l'intégrale dépasse toute valeur donnée (si t est assez grand),

(pour Tt très grand) a= — — / (c H- 2CilogP) e * ^/^

I l8 ÉCHAUPF. PERMAN., A PARTIR d'cN CENTRE, D*|}NB PLAQUE INDÉFINIE :

229. Intégration de l'équation du problème, sous la condition que l'intégrale reste finie à l'infini. — Comme on veut que u ne devienne pas infini, il faudra annuler la parenthèse du dernier membre, ou établir entre c et c% le rapport

(88) "^ =^^1 f e" Mogp^p.

L'intégrale qui figure ici peut être rattachée à la fonction eulérienne F, définie, comme on sait, par la formule

ou bien, en posant or = ^ (d'où dx= ^ dp = e^^^? d^)^ par celle-ci,

Différentions en n : nous aurons

En faisant /i=r -» puis isolant l'intégrale cherchée et observant

que r (-j = ^/tz, il viendra

(89) J e-Tiogprf3^-i^[r'(i) + /i;ioga]; et la formule (88) sera enfin

Le rapport —yj^» dérivée de logT{n) pour n= -, s'évaluera au moyen de la Table de Legendre qui donne les logarithmes déci-