INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME. II

maux (et non les logarithmes naturels figurant ici) de la fonction r(/i). Stokes a ainsi trouvé (*), pour le rapport de c à C|, la valeur 1,270 363.

230. Manière dont l'intégrale s'évanouit alors aux distances infinies de l'origine. — D'ailleurs, avec la valeur (90) du rapport decàci, la formule (87) montre que l'expression usjxe-'^ tend vers zéro pour x infini. Pour abréger, appelons o cette expression; et, après avoir observé que, dans le cas actuel où n = 2, l'équation (79) (p. 1 14), prise sous sa seconde forme, revient à

remplaçons-}^ u\Jx par c^cp. Nous aurons

Multiplions celle-ci parrft, et intégrons de v-- t à t = oo , comme si le second membre était connu. Il viendra, vu l'évanouissement de o et de sa dérivée pour t infini,

(93) -^7-'^=f=i ITT-

Or, si t est supposé très grand, © a, sous le signe / , ses valeurs

absolues tout au plus du même ordre que la première d'entre elles, relative à la limite inférieure v; de sorte que le second membre est

au plus comparable à o / — ^^ = — ?p.

Appelons donc s une quantité évanouissante quand t croît sans limite; et l'équation (93) pourra s'écrire^ +2y = e<p, ou, en

(') Dans son grand Mémoire sur la résistance de l'air aux oscillations du pendule, cité aux n«"20 et 28 de la Note finale I ci-après et traduit par M. Wolf dans le Tonoe V des Mémoires publiés par la Société française de Physique. C'est aux pages 33i à 339 de ce Tome V que se trouve exposée l'analyse remarquable par laquelle Stokes a, le premier, déterminé le rapport que doivent avoir entre elles les deux constantes c et c, de la formule (85), pour que celte intégrale (85) de ( 84 ) reste finie à la limite t — 00 . La démonstration ci-dessus me semble réduire cette question à une très grande simplicité.

I20 ÉGHAUFF. PERMAN., A PAKTIR Dl^ CENTRE, d'i.NE PLAQLE INDÉFIME :

divisant par ç et remplaçant o par wy/te"'', c'est-à-dire log© par (94) ^,i«/-v)

Celte relation signifie que, une fois t devenu assez grand, la , fonction u\Jxe^ se maintient sensiblement constante (sauf erreur relative très petite) dans tout intervalle fini où varie t, c'est-à-diro que le produit us/^y décroît à la manière de Texponenlielle e^- . Dans de telles conditions, il est inévitable que ce produit, non seulement ne croisse pas sans limite, mais même tende vers zéro pour . infini. Et l'on voit de plus que, dans le cas actuel /î^a, l'expression de u varie, sinon en toute rigueur (comme dans les deux autres cas /i r^ i et /? : : 3), mais du moins à très peu près, propor-

tionnellement à l'inverse du produit x ' e^, ou du produit /• - e^^ quand la variable t est devenue assez grande.

231. Détermination de la constante arbitraire qui y subsiste. — Enfin, l'arbitraire C| devra être choisie de manière que, sur la

circonférence o* '--- -iizr d'un rayon r^^- très petit, on ait

1 ( pour fj, /*, V très petits) — '^"^ '' ^^

< 95) ' ou

I du rfu ^

Or, pour t très petit, la partie du second membre de (85) afTectéc du coefficient c a sa dérivée en t évanouissante, et la partie afTectéc deci n'a de sensibles, dans sa dérivée en t, que les éléments d'intégrale provenant de la difTérentiation, sous le signe / , du facteur très grand log(tsin2a); car les éléments où figurera, sous le signe /, la dérivée en t de l'autre facteur variable coh(tcosa),

savoir costtsih(tcosa), auront leur somme infiniment petite de l'ordre de tlogt. Il viendra sensiblement

(96) (pour V très petit) -,- — -* / coh(tcosa)rfa - — - ;

RÉDtCTIO.N, EN SÉRIES, DE L*1MÉGRALK DU PROBLÈME. 121

H la relation (g5) donnera - r.'^cr- Qi ou c, r — -^^. L'expression de la température permanente u sera donc, d'après (85) et (90),

^97) (pour une plaque)

où

232. Développement en série de l'intégrale obtenue. — Le calcul de celte expression (97) et, plus généralement, de Tintéj^rale (85) de Téquation dinérentielle (84) peut se faire, en les développant en séries, toujours converg<'iites, suivant les puissances entières et positives de t, à part le facteur logt que contient en plus, dans tous ses termes, Tune des séries.

A cet effet, on remplacera le cosinus hyperbolique, figurant dans (85) ou dans (97), par la somme

. v*cos*a v^cos^a t*cos«a

et, d'une pari, on observera, dans le produit développé et intégré de cette série par c -f- C| (logt -|- 2 log sina), que

/ cos*" a aa = , • • • »

d'autre part, on effectuera comme il suit le calcul des intégrales définies, également introduites par le développement,

ln= I cos^^alogsinaé/a — / cos^'»-»a t/(sina log sina — sina).

L'intégration par parties y donne, vu l'annulation, aux limites, du terme intégré, et vu aussi que sin*^a=: i — cos^a,

la - {in -- i) j (cos*«-2a~ cos*"a)(logsina - \) dz