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- {in — \)\n-\ — {in — \)\n—{'^.n — \)\ 1 cos^»-^ x doL— 1 cos««arfa
122 ÉCHAUFF, PERMAN., A PARTIR D'uN CE>TUE, d'UISE PLAQUE INDÉFINIE:
Résolvons par rapport à I« et, en tenant compte de (99), il viendra la formule de réduction
in — I , TU I 3 9. « — I I
^ '111 1 1 \ in 'in
pour déduire successivement I|, I2, I3, ... de lo, produit de-'
par la valeur moyenne de logsina entre les deux limites a = o,
Or la formule de Côtes, qui est, par exemple, la formule (47)? à la page /\\* Ae mon Volume de Calcul différentiel (*), donne de suite, pour n très grand, en la divisant par x — ^ i et extrayant ensuite la racine n'**™^ des deux membres, la valeur moyenne géométrique de l'expression x- — 2^cos2a-h i, où ^ est constant et où la variable a recevrait successivement comme valeurs tous les
multiples positifs, inférieurs à -> de ; ce qui la ferait bien
varier uniformément de zéro à - (2). Cette moyenne géométrique,
— - j » est I pour X inférieur à Tunité (en valeur absolue), ou quand, x^"^^ s'annulant à la limite, il reste l-^ — ) ou [—;^) »
OU x^^ pour x^ supérieur à l'unité, car elle devient alors x^l - j
ou x^ X I.
Si l'on fait x-^\^ cas où o;-^- 2^ cosaa 4- i -- 4 sin^a, la moyenne géométrique est donc 1 ; d'où il suit que sin'-^a a pour
valeur moyenne géométrique - et que sina a pour valeur moyenne
( ') Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique^ 1. 1. deuxième fascicule {Compléments), p. 4»*-
(') On peut voir comment se définit et se calcule la valeur moyenne géométrique d'une fonction, dans un intervalle donné, au n" 274* du même Cours d'Analyse infinitésimale pour la Mécanique et la Physique (l. II, Compléments, p. 48* à 5o* ).
INTÉGBÀTION DE L*ËQUATION DU PROBLÈME. 123
géométrique -• C'est dire que la valeur moyenne arithmétique de
log sin a est log - ? ou que lo ^^ 7 log 7 • Il viendra donc, successivement :
,= -log-.
■i -ji i\ ^ 7. a 4 / , ic I 3 5 /, I I I i\
Le développement, toujours convergent, des différentes parties de l'intégrale définie (85), ou (97), suivant les puissances entières et positives de t, pourra donc s'effectuer, avec le facteur logt en plus dans chacun des termes de l'une des deux séries affectées du coefficient C|.
N'ayant pas d'application à faire ici de la formule (97) de u, je m'en tiendrai là au sujet de son développement en série. Mais je chercherai encore son expression asymptotique, qui joint, à l'avantage d'une grande simplicité, celui de permettre la comparaison du cas actuellement étudié d'une plaque, où /i=^2, aux autres cas, traités précédemment, d'une barre et d'un corps massif, où // avait les valeurs respectives i et 3.
233. Autre forme de la même intégrale^ obtenue par une méthode de Laplace. — La formule asymptotique dont il s'agit, ou formule de u approchée à une erreur relative près évanouissante quand t grandit indéfiniment, ne serait peut-être pas facile à déduire de l'expression (97). Mais elle résulte immédiatement d'une autre forme de l'intégrale, que donne une méthode de Laplace pour intégrer les équations différentielles linéaires et à coefficients linéaires eux-mêmes. C'est bien le cas de notre équation (84), écrite ainsi
. ,, fd^u \ du
Oo3) ,(^^^.->,j,,.^^^o.
1^4 ÉCHAlîFF. PERMAN., A PARTIR D*UN CENTRE, d'uNE PLAQUE INDÉFINIE :
Celte méthode de Laplace, dont on peut voir l'exposé et d*intéressantes applications au Tome llf (p. 872 à 378) du Traité d'* Analyse de M. Picard, consiste à former, pour l'équation proposée (io3), une solution particulière en intégrale définie rentrant dans le tjpe
(io4) ur-- ï e-^9.f{%)doL,
Jp
où l'on choisira convenablement les deux limites constantes /?, q et la fonction /(a). L'expression (io4), portée dans notre équation (loS), la change, effectivement, en
I i%^~ \)f{i). e--^xdr/.— j c-'^«a/(a) rfa — o.
Or ici, sous le premier signe / , e~'-*trfa revient à rf( - e"*-*), et
une intégration par parties donne dès lors au premier membre la forme
k-^Vi - a«)/(a)]2 -nj e-^«[(aî- i)/(a) - a/(a)J doL.
On satisfera donc identiquement à l'équation (io3) si, d'abord, on pose
(aï- i)/(a) - oif(oL) -. o, ou /(a) =
C désignant une constante arbitraire, et si, de plus, on choisit pour />, q deux limites annulant le terme intégré e~**(i — a^)/(a), ou — Ge"*^*v^a2 - i , savoir, les deux limites p = i, g ^=co. Or la solution ainsi obtenue de (io3),
Oo5 1 ' Il ~ (, i -—=1: i
s'annule évidemment pour v infini; et elle sera, par suite, une autre forme de (97), pourvu que nous y déterminions C par la
condition — ^'^^ "T ^= Q (» la limite t=o). Mais la formule (io5)
donne, en effectuant finalement une intégration par parties et po-
