INTÉGRATION DE L*ÉQUATION DU PROBLÈME
sanl la = p dans le résultat,
Le produit par — 2711 de cette expression, spécifié pour \^^ o, devient donc, grâce à une nouvelle intégration par parties,
dit /•?=• y»
(107) -27:v-^ r= 2-710 / '}d{ — e'-^}-='i,TzC.j e-^d^^iTzC;
et Tégalilé de ce produit à Q donne C -- — •
En définitive, l'expression (io5) de w, fournie parla méthode de Laplace, et parfaitement équivalente à (97) quoique bien plus simple, devient, sous deux formes dont la seconde se déduit de
la première, en posant a --- 1 -] :
23i. Expression asymptotique qui s'en déduit pour les températures permanentes dans la plaque , et qui est conforme à leur expression générale dans une barre et un corps massif. — La méthode d'intégration de Laplace convenait donc admirablement à cette question. On le reconnaît surtout en observant que la nouvelle expression obtenue (108) de la température, sous sa dernière forme, devient extrêmement simple pour les grandes valeurs de t. Alors, en
effet, l'intégrale qui figure au dernier membre tend vers / e"^' dX^
c'est-à-dire vers — ; car le radical placé sous le signe / s'y réduit
sensiblement à Tunité pour toutes les valeurs de A modérées, ou susceptibles de donner des éléments d'une somme totale notable. La forme asymptotique cherchée de u sera donc
(109) (pour V très grand) u = -^ --^ —
/Îttv * /âTîrjjïr
126 TEHPÉR. PEBMANENTES D*UNE PLAQUE : LEUR EXPRESSION ASTMPTOTIQDB.
Elle est précisément ce que donnerait, spécifiée pour le cas d'une plaque où /i ^^ 2, la formule générale (83) de w (p. ii5) convenant aux cas déjà traités /i = i cl n = 3 d'une barre et d'un corps massif. Seulement, tandis que, dans ces cas plus simples, la formule générale (83) était exacte pour toutes les distances r à la source calorifique, elle ne devient applicable, dans le cas actuel de deux dimensions, qu'à d'assez grandes distances de cette source.
On voit, en même temps, que l'expression (109) est approchée fdiT excès; car tous les éléments de l'intégrale figurant dans le troisième membre de (108) sont ceux de l'intégrale même
j e^^^cfk^ multipliés par le facteur (iH j > décroissant à
mesure que \ s'éloigne de zéro et, par conséquent, inférieur à sa première valeur i .
La simplicité de la formule (108), comparée à (97), tient sans doute à l'analogie assez étroite de la fonction de v à représenter, avec l'exponentielle e-^^ constituant le facteur en x de l'élément e-^^/{oL) doL de l'intégrale de Laplace, analogie qui rend possible une expression simple du même élément par rapport à a. L'intégrale de Laplace paraît, à cet égard, aussi avantageuse, dans le problème actuel, que l'était la forme également exponentielle des éléments de l'intégrale générale (44) (p- 38) du problème de l'échauffé ment d'un mur, comparée à ceux de l'intégrale (16) (p. Il) du problème de son refroidissement, quand il s'est agi de représenter le refroidissement du mur, par ra}onnement, à partir d'un état initial uniforme.
