SURFACES, LIGNES ET POINTS ISOTHERMES

époque /, les points qui s*y trouveront à une température désignée quelconque correspondront à une même valeur de /*. Donc, vu (i lo), le lieu des points isothermes aura, dans tous, l'équation

(1,1) g^.gH...^const.

236. Surfaces isothermes d'un corps massif et points isothermes des barres qu'on en extrait. — S'il s'agit, d'abord, d'un corps massif, les surfaces isothermes y seront bien, comme on avait été déjà conduit à le penser (t. I, p. 200), des ellipsoïdes concentriques et homothétiques à l'ellipsoïde principal.

S'il s'agit de barres passant par l'origine et orientées dans toutes les directions par rapport au système des deux ellipsoïdes principal et des conductibilités (supposé construit autour de l'origine dans le corps d'où les barres auront été extraites), a se trouvera, d'après (io) (p. 90), remplacé par le demi-diamètre, A, de l'ellipsoïde des conductibilités, coïncidant avec l'axe de la barre. Et, par

suite, le lieu -^ = const. des points isothermes, sur les axes de

toutes les barres, sera constitué par la famille des ellipsoïdes concentriques et homothétiques à celui des conductibilités. Il est vrai que w, ou plutôt U, dans l'équation (4o) (p. 90), désigne alors la température moyenne sur une petite section plane, d'une certaine orientation, coupant l'axe au point d'abscisse X, et non la température vraie u en ce point. Mais la différence U — u est insensible.

237. Courbes isothermes des plaques. — S'il s'agit enfin de plaques planes taillées en sens divers dans le milieu, et que l'on transportera fictivement, sans changer leur orientation, de manière à y faire coïncider les origines O, a et 6 seront, comme on a vu au n** 208 (p. 84), les demi-axes A, B de l'intersection que fait le feuillet moyen de la plaque dans un ellipsoïde semblable à celui des conductibilités et passant par les deux ellipses de l'ellipsoïdc principal qui, tangentes à l'intersection de celui-ci par le même feuillet moveu, se trouvent être, en même temps, conjuguées à Taxe d'asymétrie. Les lignes isothermes

Ai "^ Bi = '^''"''-

AUTOUR d'une source ÉLÉMENTAIRE. I29

tracées sur le feuillet moyen de chaque plaque, seront donc les intersections de la plaque par divers ellipsoïdes lieux de points isothermes des barres, c^est-à-dire concentriques et homothétiques à V ellipsoïde des conductibilités.

Ici, l'équation indéfinie, qui est (i6) (p. 77), contient, il est vrai, au lieu de la température u au point (X, Y) du feuillet moyen, une moj'enne U, savoir, celle des températures vraies le long d'une petite droite d'orientation fixe, passant par ce point (X, Y)-, mais la différence U — w est encore insensible.

Considérons, en particulier, les plaques taillées suivant l'axe d'asymétrie, ou pour lesquelles l'ellipsoïde indicateur de leurs conductibilités principales n'est autre que l'ellipsoïde des conductibilités. Celui-ci sera évidemment un lieu de courbes à égale température pour toutes ces plaques. Et si l'on prend, dans les autres plaques, les lignes isothermes qui offrent précisément cette température, elles se trouveront, de même, sur les ellipsoïdes indicateurs des conductibilités principales de ces plaques. C'est dire que le lieu des courbes marquant cette même température dans toutes les plaques est l'espace total compris entre les deux ellipsoïdes principal et des conductibilités.

238. Importance particulière de Fellipsoïde des conductibilités. — Comme les lignes isothermes que l'on peut suivre ou constater à la surface des barres ou des plaques se confondent presque avec les points de l'axe de ces barres, ou avec les courbes du feuillet moyen de ces plaques, qui ont leurs températures respectives, on voit que V ellipsoïde représentatif des phénomènes observables dans ces corps est, non pas V ellipsoïde principal, mais celui des conductibilités (*).

239. Construction des surfaces, planes ou cylindriques, isothermes dans les barres et les plaques. — Occupons-nous maintenant des petites surfaces isothermes existant soit dans les barres,

(') Seulement, notre ellipsoTde des conductibilités, qui se confond avec l'ellipsoïde principal dans les corps à contexture symétrique, diflëre entièrement de celui que Lamé avait considéré sous ce nom et auquel il avait pensé pour le rôle que joue le nôtre. {Voir^ dans ses Leçons sur la Théorie analytique de la chaleur, le Discours préliminaire^ p. xix.)

l3o PLANS ISOTHHRMBS ET CYLINDRES ISOTHERMES, SOIT DANS LES BARRES

soit dans les plaques, et que nous savons (t. I, p. i55 et i56) être, à très peu près, dans les barres, les plans qui sont isothermes pour les courants cheminant suivant Taxe, et, dans les plaques, les cylindres décrits, suivant les ellipses isothermes du feuillet moyen, par une génératrice ayant la direction de la droite qui est toujours isotherme pour les courants parallèles au feuillet moyen. Il résulte de la manière même dont on a déterminé plus haut (p. 88) le coefficient A de conductibilité de la barre, ou (p. ^9) Tellipse figurative des conductibilités principales de la plaque, que les plans isothermes offrant une même température dans toutes les barres, et coupant ainsi l'axe sur un même ellipsoïde, isotherme pour toutes, celui des conductibilités, par exemple, seront, si on les prolonge suffisamment, tangents à un même ellipsoïde, Tellipsoïde principal; et que les cylindres isothermes pour toutes les plaques ou s'appuyant, par exemple, sur les ellipses figuratives de leurs conductibilités principales, se trouveront tous, si on les prolonge aussi, circonscrits à ce même ellipsoïde, l'ellipsoïde principal.

240. Analogie avec certains modes simples d'échauffement d'un corps massif. — Supposons maintenant nos barres et nos plaques non seulement infiniment minces, mais aussi rendues, d'une part, imperméables à la chaleur si.r leur superficie, d'autre part, diathermanes, à leur intérieur, au point de garder dans l'équation indéfinie de leurs températures le même terme o(u) pour exprimer la chaleur rayonnante qu'elles émettent. Enfin, admettant qu'elles soient chauffées de même, associons celles qui ont pareille orientation et qui, par exacte juxtaposition ou superposition, peuvent reconstituer un corps homogène, continu et indéfini. Imaginons donc qu'on les agrège ou les empile ainsi, en faisant coïncider, à partir de la source même qui est dans chacune, les bords de leurs petites surfaces isothermes. Celles-ci seront parfaitement planes ou cylindriques, par le fait même que rimperméabilité des surfaces jointives rendra les courants rigoureusement dirigés soit suivant \es fibres (ou barres élémentaires) constitutives du milieu, soit dans les plans des feuillets (ou plaques élémentaires) dont il sera formé.

Les surfaces isothermes du corps massif ainsi produit seront

ET DANS LES PLAQUES, SOIT DANS LES CORPS MASSIFS. l3l

donc OU des plans Indéfinis parallèles, ou des cylindres de longueur infinie à base d'ellipse, conaxiques et homothétiques, réalisant cette distribution des températures soit par plans parallèles, soit par droites parallèles, dont l'équation indéfinie a été donnée aux n°« 198 et 200 (p. 66 et 69). En effet, vu la parité, sur toute l'étendue indéfinie de leur siège ou plan, ou rectiligne, des sources calorifiques qu'il contiendra, la distribution des températures par plans ou par droites parallèles à ce siège se conserve d'elle-même, une fois produite, comme il est évident^ et les courants sont, dès lors, dans le corps massif, dirigés d'eux-mêmes, précisément comme on le suppose, par le simple jeu de la conductibilité intérieure, ou sans que les surfaces séparatives des feuillets ou des fibres constituant ce corps aient besoin de rester imperméables. Dy aura donc bien, quant aux températures, identité d'un tel milieu, ainsi chauffé, avec le corps même ayant fourni les barres ou les plaques, supposé muni d'un foyer calorifique, plan ou rectiligne, d'étendue ou de longueur indéfinies.

On voit que, dans tous les milieux analogues, ainsi chauffés pareillement ou sur tout un plan, ou suivant une droite, d'orientation quelconque, les sur/aces isothermes seront constituées par les systèmes de plans tangents parallèles, ou par les cylindres, circonscrits à de mêmes ellipsoïdes, concentriques et homothétiques à rellipsoïde principal. C'est, du reste, ce qu'on pourrait déduire aussi des formes, indiquées aux n°* 200 et 198 (p. 69 et 66),

^du . i^d^u , . « . ,^d^u ,,^d^u , . -,

C^ = so.ta'»5^-<p(«)+S, so.ta'^^+6«^-<p(«) + S,

que prend alors l'équation indéfinie; car, même en coordonnées obliques, cette forme rentre encore dans le type (4i) (p. 91) et peut être traitée de même.

241 . Émission de la chaleur en lig^e droite autour d'une source, dans les corps massifs et les plaques de contexture sjrmétrique. — Que la contexture soit ou non symétrique, la chaleur se propage en ligne droite dans une mince barre prismatique, puisque les plans isothermes y ont précisément la direction qu'il faut pour orienter le courant suivant l'axe. Mais, dans les plaques et dans les

l32 ÉMISSION RECTILIGNB DE LÀ CHALEUR,

corps massifs, la chaleur n'émane généralement en ligne droite, d'une source élémentaire, que si la contexture est symétrique.

En effet, considérons d'abord un corps massif; et soit MQ (Jig* i3 bis) un rayon rectiligne quelconque, issu d'une source ayant son siège en M. Les surfaces isothermes seront des ellipsoïdes concentriques et homothétiques à l'ellipsoïde principal décrit autour de M, dans lequel nous supposerons que EQE' soit l'ellipse conjuguée menée par le point Q à l'axe d'asymétrie MC du corps (*).

Fi g. i3 hU,

En tous les points de MQ, les éléments plans isothermes se trouvent donc parallèles au plan tangent en Q à l'ellipsoïde principal; et, par suite, les filets ou courants élémentaires de chaleur y affecteront une orientation commune, celle du courant en Q, donnée, comme on a vu (t. I, p. 146), parle diamètre MR de l'ellipsoïde des conductibilités. Or MR ne se confond avec MQ que si les deux ellipses EQE', FR'R coïncident; ce qui n'arrive, sauf aux deux extrémités C et G' du diamètre commun, que dans les corps où, les conductibilités latérales (D, C, #s'annulanl, la contexture est symétrique. Les corps massifs à contexture symétrique

(*) Ldi fig. i3 bis de cette page est simplement la reproduction de la fig. i3 du Tome I"' (p. i4i).

DANS L£S CORPS MASSIFS ET LES PLAQUES DE CONTEXTORE SYMÉTRIQUE. l3S

sont donc bien les seuls où la chaleur suive les rayons rectilignes émanés de la source.

Supposons mainlenant qu'il s^agisse d'une plaque ayant sa source calorifique en M. Là encore les éléments plans isothermes seront parallèles, et imposeront aux courants une orientation commune, en tous les points d'un rayon quelconque émané de M dans le feuillet moyen, puisqu'ils appartiendront à des cylindres homothétiques, à base d'ellipse, dont Taxe commun passera par M.

Imaginons le feuillet moyen dirigé de telle manière que le point Q de la figure soit, sur l'ellipsoïde principal à centre M, le point de contact d'une génératrice du cylindre isotherme circonscrit à cet ellipsoïde. Le plan tangent au cylindre tout le long de celte génératrice, et aussi à l'ellipsoïde principal en Q, contiendra, comme on a vu (t. I, p. i46), l'extrémité R du rayon MR de l'ellipsoïde des conductibilités, qui donne la direction du courant traversant effectivement ce plan au pied de la génératrice, point où celle-ci perce le feuillet moyen. Appelons Q' ce pied de la génératrice. Donc l'extrémité R, située d'ailleurs, non moins que M, sur le feuillet moyen que suivent dans la plaque tous les courants, appartient à la trace Q'R, sur ce même feuillet, du plan tangent, trace qui est la tangente en Q' à l'ellipse isotherme indicatrice des conductibilités principales de la plaque et intersection du cylindre par le feuillet [moyen. Ainsi, MR n'aura la direction du rayon MQ', c'est-à-dire de la droite joignant la source M au pied de la génératrice, que si le point quelconque Q' de l'ellipse isotherme en question se confond avec le point correspondant R de rellipsoïde des conductibilités, ou si, par conséquent, l'ellipse indicatrice des conductibilités principales de la plaque se trouve placée sur l'ellipsoïde même des conductibilités. Or on sait qu'elle est sur un ellipsoïde concentrique et homothétique à celui des conductibilités, mais non identique, sauf quand on a pris le feuillet moyen suivant l'axe d'asymétrie MC. En dehors de ce cas particulier, il faut donc encore annuler ÛO, C, §, ou identifier les deux ellipsoïdes principal et des conductibilités, en admettant la symétrie de contexture du corps, pour que les courants suivent, dans la plaque, les rayons rectilignes tracés à partir de la source sur le feuillet moyen.

l34 SPIRALES QUE DÉCRIT LA CffliLEUR, DANS LES CORPS MASSIFS

S42. Tourbillonnement de la chaleur autour des sources, dans les corps massifs de contexture asymétrique. — Quand la contexture n'est pas symétrique, la construction des courants en chaque point résulte des considérations qui précèdent.

Traitons d'abord le cas du corps massif. Réduisant, par la pensée, la source de chaleur au centre M, observons que, le long du rayon quelconque MQ, les courants, dirigés parallèlement à MR, rasent le plan MQR tangent au cône qui aurait MQ pour génératrice et l'ellipse EQE' pour directrice. Comme la même circonstance se produit sur toutes les génératrices des cônes analogues qui ont leur sommet en M et pour directrices les ellipses conjuguées à l'axe d'asymétrie MC dans l'ellipsoïde principal, on voit que la chaleur tourbillonne sur tous ces cônes, sans les quitter. Relativement à un observateur qui, les pieds à l'origine et le corps suivant MG, la regarderait s'éloigner de la source M, ou plutôt passer, sans cesse, d'une ellipse parallèle et semblable à EQE', à l'ellipse extérieure suivante tracée sur le même cône, elle tournerait de gauche à droite; car on se souvient (t. I, p. i46) que MR est à droite de MQ par rapport à l'observateur dont il s'agit.

Les spirales ainsi parcourues, et dont les tangentes reprennent leur direction à chaque spire ou au retour de la courbe sur chaque génératrice MQ, ont le sommet M pour point asymptote. En effet, si V désigne l'angle variable QMR et 6 l'angle total décrit, à partir d'un rayon donné R© sur le cône MEQE', par le rayon vecteur R = MQ du point Q décrivant une de ces spirales, il est clair que, pour 0 croissant de rfO, R grandit; sur une même spirale, de

R^etang^^-vV ou que l'on a

rfR = R cot V rfO, et, par suite, log 5- = / cot V rfô.

Or, comme V oscille entre deux limites dont la moindre excède zéro et dont l'autre n'atteint pas deux droits, l'intégrale ne devient infinie que pour 0 infini ; et il y a, dans les deux sens à partir de Ro« une infinité de rotations autour de MC, ou une infinité de spires.

KT LES PLAQUES DE CONTBXTURK ASYMÉTRIQUE. l35

243. Tourbillonnement analogue de la chaleur, dans les plaques de contexture asjnnétrique. — Passons au cas d^uoe plaque; et soit, comme plus haut (p. i33), Q'ie pied, sur le feuillet moyen, de la génératrice du cylindre isotherme circonscrit à rellipsoïde principal qui est tangente en Q à cet ellipsoïde. On a vu que le rayon, MR, de l'ellipsoïde des conductibilités, donnant la direction des courants aux divers points de la droite MQ' émanée de la source, a son extrémité R sur la tangente menée, en Q', à l'ellipse isotherme du feuillet moyen représentative des conductibilités principales de la plaque. Il faudra donc, sur le feuillet moyen, tracer cette ellipse, ainsi que l'ellipse extérieure, concentrique et bomothétique, qui est l'intersection de l'ellipsoïde des conductibilités par le même feuillet, et puis mener, en chaque point Q'de l'ellipse intérieure, une tangente RiQ'R, jusqu'à la rencontre de l'ellipse extérieure en deux points R| et R. L'un de ces deux points sera l'extrémité cherchée delà droite MR donnant la direction des courants sur le rayon MQ'.

Pour voir lequel des deux on devra choisir, supposons d'abord le feuillet moyen conjugué à l'axe d'asymétrie MC, ou parallèle aux ellipses comme EQE'. Alors le cylindre isotherme circonscrit à l'ellipsoïde principal a son ellipse de contact sur le feuillet moyen lui-même, ou son axe suivant MC; et Q' n'est autre que Q. Donc, pour la plaque ainsi disposée, les ellipses EQE' se réduisent à une seule et se confondent avec l'ellipse isotherme : dès lors, Ja tangente Q'R se mène de gauche à droite, par rapport à l'observateur ayant ses pieds en M, sur le feuillet moyen, et sa tête suivant la normale à ce feuillet, tirée du côté où est l'axe d'asymétrie MC.

Or, si, à partir de cette position, la plaque, changeant, tourne arbitrairement autour de M, mais de manière que l'observateur qui lui est normal reste sans cesse du côté de Taxe d'asymétrie MC, tous les éléments de la figure se transformeront graduellement, depuis le cylindre isotherme circonscrit à l'ellipsoïde principal, et son ellipse diamétrale de contact, jusqu'à l'ellipse isotherme figurative des conductibilités principales et ses tangentes RiQ'R, aboutissant aux extrémités R des rayons correspondants MR de l'ellipsoïde des conductibilités indicateurs des courants. De plus, ces tangentes RiQ'R ne s'annuleront, comme on a vu, ou ne rendront

l36 SPIEALES QUE DÉCRIT LÀ CHALEUR DANS LES PLAQUES.

possible un échange entre les deux points R et R|, qu'au moment final où le feuillet mojen contiendra l'axe d'asymétrie.

Donc, dans toutes les positions de la plaque, la tangente Q'R se tirera de gauche à droite. Et la chaleur émanera, par conséquent, de la source M, en tournoyant sans cesse de gauche à droite dans le plan du feuillet moyen, à mesure qu'elle passera de chaque ellipse isotherme à l'ellipse suivante extérieure. Là encore, le centre M d'émanation est évidemment un point asymptote.

On s'explique dès lors le nom de coefficients rotationnels, qui a été donné quelquefois aux conductibilités indirectes ou d'asymétrie (D, Ct ^.

Nous voyons d'ailleurs comment se construira, sur l'ellipsoïde principal, le point de contact, Q, de la génératrice isotherme Q'Q passant par un point donné quelconque Q' de l'ellipse indicatrice. On mènera en Q', de gauche à droite, la tangente Q'R à celte ellipse, jusqu'à la rencontre, en R, de l'ellipsoïde des conductibilités; puis on fera passer par le point R le plan conjugué à l'axe d'asymétrie MC; et son intersection par l'ellipsoïde principal sera l'ellipse EQE', à laquelle, enfin, on mènera de droite à gauche la tangente RQ. Le point Q de contact de celle-ci sera justement celui qu'on cherche, et qu'il faudra joindre à Q' pour avoir la droite isotherme de la plaque en Q'.

On voit aussi que chaque plaque utilisera successivement, dans celte construction, toutes les ellipses EQE' de l'ellipsoïde principal, qui sont conjuguées à l'axe MC d'asymétrie et ont leurs plans respectifs traversés par l'ellipse d'intersection du feuillet moyen etderellipsoïde des conductibilités. Ces plans se trouvent compris entre les deux d'entre eux auxquels est tangente la même ellipse, extérieure et semblable à l'ellipse indicatrice des conductibilités principales de la plaque, tandis que celle dernière ellipse, plus petite, est circonscrite à celle d'intersection de l'ellipsoïde principal parle feuillet moyen, ou inscrite, comme celle-ci, entre les deux plans, encore conjugués àMC (mais moins écartés l'un de l'autre), tangents à l'intersection en question, de l'ellipsoïde principal par le feuillet moyen.

244. Courants et flux de chaleur autour d'une source, dans un corps massif. — Signalons enfin, dans le cas du corps massif

COURANTS ET FLUX DE CHALEUR AUTOUR D'iTCB SOURCE. l3j

chauffé à l'origine M des coordonnées, quelques propriétés simples des flux de chaleur, aux divers points de Tellipsoïde isotherme quelconque dont le paramètre r est la racine carrée positive de

l'expression

Comme cette expression donne

les dérivées partielles de r en x^y^ z ont mêmes valeurs tout le long de chaque rajon MQ émané de la source; car^, jk» «i /" y varient proportionnellement. On peut donc y remplacer Xesx^y^ z relatifs au point où le rayon MQ perce l'ellipsoïde isotherme considéré, par les x^ y^ z du point Q, situé sur l'ellipsoïde principal pour lequel /•= i. Cela posé, et la température u ne dépendant de x^ Vj z que par la variable r, ses dérivées relatives à x^y^ z

seront, en un point quelconque de MQ, -r-. --T-f .y ou bien, si

l'on convient d'j prendre les -y- ;- au point Q,

du 1 X y z\

elles expressions (67) (t. I, p. i3o) des flux principaux deviendront

T^ du / ^ y ,, z \ du -du -du

où ^1, J^i, Zt désignent les coordonnées du point R correspondant

à Q dans l'ellipsoïde des conductibilités (t. I, p. i4Iî form. 80).

Le courant de chaleur en un point quelconque du rayon MQ

sera donc représenté par une droite ayant sur les axes les trois

projections ^^ (x^ , yt , 5|), droite valant dès lors -j- y/^rj + J^î + ^ï, ou —(MR), c'est-à-dire, au facteur près-^"» le rayon même MR

de l'ellipsoïde des conductibilités, qui se trouve exprimer ainsi le courant en grandeur et en direction. Celui-ci, par unité d'aire, est

simplement -^(MR), tout le long du rayon MQ.

l38 GOURANTS ET FLUX ÉMANÉS D'uNE SOURCE CALORIFIQUE,

Le flux sur un élément plan quelconque s'obtiendra en multipliant ^ (MR) par le cosinus de l'angle que fera avec MR la normale à l'élément. Son expression sera très simple, pour deux sortes d'éléments plans, savoir, d'une part, pour ceux qui sont conjugués à Taxe d'asymétrie MG ou qui constituent, le long de chaque ellipse comme EQE', une mince zone traversée par un tourbillon conique élémentaire de chaleur, d'autre part, pour les éléments isothermes ou appartenant à l'ellipsoïde de paramètre r.

245. Débit calorifique d'un tourbillon élémentaire.— Considérons d'abord les premiers. Si l'on y appelle S la distance, à la source M, du plan de la zone elliptique dont il s'agit, contiguë à l'ellipsoïde de paramètre r, la distance analogue pour le plan parallèle mené

S en Q vaudra évidemment -; et comme ce sera la projection de MR

sur la normale aux éléments plans considérés, le cosinus de l'angle

cherché sera — m|p • On aura donc comme expression du flux -y- - •

Ainsi, le flux traversant chaque étroite zone elliptique , section plane (Vun tourbillon élémentaire conjuguée à Paxe d^ asymétrie, est uniforme sur toute l'étendue de la zone et simplement proportionnel (par unité d'aire) à la distance du plan de la section à la source, pour toutes les zones contiguës à un même ellipsoïde isotherme,

246. Débit calorifique d'un élément de surface isotherme. — Vexpression du flux est précisément la même, c'est-à-dire encore -^ - » et variable comme la distance 8 des plans des éléments à la source, pour les divers éléments superûciels d'un ellipsoïde isotherme. Car la distance, à l'origine M, du plan tangent mené en {x^y, 5), le long de MQ, à rellipsoïde r=const., est, comme on sait,

0 = — , ^ / d'où — -== = -i V»

tandis que les cosinus directeurs de la normale sont respecti-

DAMS UN CORPS INDÉFINI, HOMOGÈNE, MAIS HÉTÉROTROPB. iSq

vement

expressions dans les dernières desquelles les quantités entre parenthèses, homogènes du degré zéro en x, y^ -5, r, peuvent être évaluées au point Q du rayon indéfini considéré et, par conséquent, réduites alors à — j ^, — • Les cosinus directeurs de MR

étant 'mr^ > i^ vient, pour le cosinus cherché de Tangle de MR

avec la normale à Télément isotherme, —-tb- f-^ -^'^^- -^l»

c'est-à-dire simplement —^rr^ > vu que le point l^^^x^j y^^ z^) appartient au plan tangent en Q(x,j',2) à rellipsoïde principal. Et, dès lors, le flux traversant Télément isotherme considéré devient

dr^ ' r MR dr r