CHAPITRE III. âîi

■('^^.^^---A-BP.^tt-DR.+E8-^

etc.

En distinguant quels sont les facteurs qui manquent aux nume'rateurs et aux dénominateurs pour y compléter la double série des nombres naturels, on voit que la fraction

se réduit , dans la première équation , à ^ • ^ ; dans la seconde à — t^ans lft troisième à |«| ; dans la quatrième à — en sorte que les produits qui multiplient a, 2b, 3c, ^d, etc.,

sont alternativement - et — ■ -. Il ne s'agit donc plus que

de trouver les valeurs de

P, Q, R, S, P, Q, R, S, P, Q,R,S3. . . etc.

Pour y parvenir, on remarquera que l'on peut faire dépendre ces valeurs de celles des quantités PQRST... etc., qui représentent les différents produits que l'on peut former

avec les fractions 77 37 £r* • • etc- •> 8ans en omettre

aucune. Quant à ces derniers produits, leurs valeurs sont données par les séries des développements de sinus. Nous représenterons donc les séries

7T + F + F + ^ + ^-Hetc- • ParP>

+ 7T37 + Tv*7 + aTT7 + PTT- + + etc" Par Q >

i'.a'.3' + i".a,.4, + i'.3'.4' + 2«.3-.4>+etc- ParR'

i\a'.3*.4* a*. 3*. 4*. 5» i'.»'.K5» +etC- Par S>

ainsi de suite.

La série sm.x=x~ — h — — o f , ,. + etc -

a.3 a.3.4.5 a.3.4.3.6.7^eu"'

nous fournira les quantités PQR S T etc. En effet, la valeur du sinus étant exprimée par l'équation

--<-^)(-^)(-sS)(-4S)(-^)-

on aura ■ --j + g^j-, j^M .y ' etc-

= (,-î^)(—^)(—^)(,-^)---etc-.

d'où l'on conclut immédiatement