o=2.3, 9*0=0, 9wo=o. . . etc
ce qui donne l'équation
x* = ^ ic' — ~) sin. x — Ç *' — ^ sin. 2 a: (V — 3 sin. 3ar+ etc.
On parviendrait à ce même résultat en partant de 1 équation précédente,
- x= sin. a:— - sin. 2x + \ sin. 5x—\ ûti. 4 x + etd
En effet, en multipliant chaque membre par dx, et intégrant, ou aura
G — ~s=cos. —cos. ûwr-f- ^ cos. 3a? — ^ coa. 4* -4- «te. ;
la valeur de la constante c est
l — ï> + y — ï + 5> — Glc'>
aa8 THÉORIE DE LA CHALEUR.
série dont on sait que la somme est + ^ Multipliant par dx les deux membres de 1 équation
-•^j — ^-=cos. x— — ,cos. ax + r, cos. 3 x — etc.
et intégrant, on aura
- — - • ^ = sin. x — - • sin. a x + T% sm . 3 * — etc.
Si maintenant on met au lieu de x, sa valeur tirée de l'équation
-x=sin.x — -sin. — = sin. 3x — -. sin. 4^ ■+- etc. , a a 3 4 ^ 1
on obtiendra la même équation que ci-dessus, savoir :
ix* ï \ i fis* \\
--3 = s.n.x(^~ )--s.n. ax(i3--)
On parviendrait de la même manière à développer en séries de sinus multiples , les puissances xs x1 x9 . . . etc. , et en général toute fonction dont le développement ne contiendrait que des puissances impaires de la variable.
L'équation (A) (art. 216) peut être mise sous une forme plus simple que nous allons faire connaître. On remarque d'abord qu'une partie du coefficient de sin. x, est la série
f'0* n o -+- — î-rr 90 -+■ 9™ o + etc. ,
CHAPITRE III. 229 qui représente la quantité £<pw. En effet, on a en général
f * =? 9 + **' ° + ? ?" ° + Û ?" ° + »"° + ÏXp + • • ■ etc.
Or, la fonction <px ne contenant par hypothèse que des puissances impaires; on doit avoir 90=0, j>"o=o, <p'To=o, ainsi de suite. Donc
9x = x9' o + ^ ©'" o + ^tj^tj f o + etc. ;
une seconde partie du coefficient de sin. x se trouve, en * multipliant par — ^ , la série
©'" O -\ 5 ©'OH — T-7-k 9T 0 H — * / d * • 9"'° + etc- î
dont la valeur est - On déterminera de cette manière les
différentes parties du coefficient de sin. x, et celles qui composent les coefficients de sin. zx, sin. 3 x, sin. ^x, sin. 5x. etc. On emploiera pour c^la les équations :
*' ^aV^+dW 0+ixix677^0+etc =^ 11
©»■ o + ^' o + f "o + ,.M*.6.y ?" o + etc. =4©- *
o4-^ro + a-^-5.-o-hetc. =y* ©~o + j3©"o + etc. =x?"r'
a3o THÉORIE DE LA CHALEUR.
au moyen de cette réduction on donnera à l'équation (A)
là forme suivante :
l-*?x=sin.x (9*— 7.9" * + yf* + etc. j
— I sin. 2x (9*— 7,9" tt + £?ww — + «te- J
+ ^sin. 3 a? jçw — + — ?" « + etc. ]
— i sin. 4 * [ 9 *— £ 9" « + ^ ?" *— ^ 9" w -+- etc. J + etc. (B) ou celle-ci
iw(pa:=9 «|sin.jc--^ sin. ax+ ^ sin. 3x— etc. J
— 9"* [sin.a: — ^,sin. ax + ^sin. 3 a: — etc. J fm* jsin.a: — ~ sin. a x y sin. 3a? — etc. J
— 9"« [sin. a: — 7, sin. a a? — psin. 3 a: — etc. J
+ etc. (C) ai&\
On peut appliquer lune ou l'autre de ces formules, toutes les fois que l'on aura à développer une fonction proposée, en une série de sinus d'arcs multiples. Si par exemple la
fonction proposée est ex — e~x, dont le développement ne contient que des puissances impaires de x, on aura
