CHAPITRE III. aii

- w ==( sin. a: — - sin. 20: + » sm. 3 a: — etc.

— (sin.j;— ^sin.ax+^sin.Sa:— etc.

+ (sin. a: — psin.aa: + ^,sin.3a: — etc.

— (sin. x — ^sin. 2X+ ^sin. 3 a: — etc. 4- (sin. a: — ^sin.2o: + ^sin.3a: — etc.

etc.

En distinguant les coefficients de sin. x, sin. a a:, sin. 3 or,

sin. Ax, etc. , et mettant au lieu de -» + -« -+- etc. ,

sa valeur -^ji on aura

1 (g* — e *) sin.x sin. ax sin. 3 x sin. 4-r

On pourrait multiplier ces applications et en déduire plusieurs séries remarquables. On a choisi l'exemple précédent parce qu'il se présente dans diverses questions relatives à la propagation de la chaleur.

Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction dont on demande le développement en séries de sinus d'arcs multiples, peut être développée en une série ordonnée, suivant les puissances de la variable x,et qu'il n'entre dans cette dernière série que des puissances impaires. Ou peut étendre les mêmes conséquences à des fonctions quelconques, même à celles

♦i3a THÉORIE DE LA CHALEUR.

qui seraient discontinues et entièrement arbitraires. Pour établir clairement la vérité de cette proposition , il est nécessaire de poursuivre l'analyse qui fournit l'équation précédente (B) et d'examiner quelle est la nature des coëffîcents qui multiplient sin.x, sin. 2 sin. 3 a:, sin.4<£. En désignant

par £ la quantité qui multiplie dans cette équation £ sin. nx, si n est impair, et — £ sin. nx, si n est pair; on aura

J=?f — f" w + ^ ?" « — ^ + etc.

Considérant j comme une fonction de difterentiant deux fois, et comparant les résultats, on trouve s + — ^ = ç«; équation à laquelle la valeur précédente de s doit satisfaire. Or, l'équation s + —t jp=? x> ^ans laquelle s est considérée comme une fonction de x, a pour intégrale

j=a cos. «a: -+- £ sin. nor + n sin.nx j*cos. nx.yx.dx

— nco&.nx ysin. nx.yxdx.

n étant un nombre entier, et la valeur de x étant égale à *, on a s=zk nj p# . sin. nx dx. Le signe -4- doit être choisi lorsque n est impair, et le signe — lorsque ce nombre est pair. On doit supposer x égal à la demi -circonférence après l'intégration indiquée; ce résultat se vérifie, lorqu'on développe au moyen de l'intégration par parties, le terme

/yx sin. nx.dx 4