CHAPITRE III. a

en remarquant que la fonction <?x ne contient que des puissances impaires de la variable et en prenant l'intégrale depuis x—o jusqu'à a?=ic. ,

On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à

± ( 9 x — <p" « • — 4- 9" « • ^ — ?" x • ~ + 9"" * • ~ H- etc. )•

Si l'on substitue cette valeur de - dans 1 équation (B) , en

prenant le signe + lorsque le terme de cette équation est de rang impair, et le signe — lorsque n est pair; on aura en général S(9#. sin. nx.dx) pour le coefficient de sin. nx; on parvient de cette manière à un résultat très -remarquable exprimé par l'équation suivante :

^7rç.r = sin. xS {sui.x.yx.dx) -j-sin. a xS (sin. a xyx dx)

+sin. 3x S (sin. Sx.fxdx) -h sin. <xS(sin. ixyx dx) -|-eic.;

le second membre donnera toujours le développement cherché de la fonction yx, si l'on effectue les intégrations depuis x=o, jusqu'à x=iz.

aao.

On voit par-là que les coefficients abedef... etc., qui entrent dans l'équation

-■k ax = a sin. x-\-b sin. ïx + c sin. Zx-\-dùn. 4 x -h etc. a

et que nous avons trouvés précédemment par la voie des éliminations successives, sont des valeurs" intégrales définies exprimées par le terme général S (sin. ix.y x dx), f êtant le numéro du terme dont on cherche le coefficient. Cette

remarque est importante, en ce qu'elle fait connaître comment ! les fonctions entièrement arbitraires peuvent aussi être développées en séries de sinus d'arcs multiples. En effet, si la fonction 9 x est représentée par l'ordonnée variable d'une courbe quelconque dont l'abscisse s'étend depuis x=o jusqu'à ,r=x, et si l'on construit sur cette même partie de l'axe la courbe trigonométrique connue , dont l'ordonnée est y=sin. x; il sera facile de se représenter' la valeur d'un terme intégral. Il faut concevoir que pour chaque abscisse x, 1 à laquelle répond une valeur de 9 x, et une valeur de sin. x, on multiplie cette dernière valeur par la première, et qu'au même point -de l'axe on élève une ordonnée proportionnelle au produit 9 x. sin. x. On formera, par cette opération continuelle , une troisième courbe , dont les ordonnées sont celles de la courbe trigonométrique , réduite proportionnellement aux ordonnées 1 de la courbe arbitraire qui représente 9 x. Cela posé, l'aire de la courbe réduite étant prise depuis x=o jusqu'à x=tt , donnera la valeur exacte du coefficient de sin. x; et quelle que puisse être la courbe donnée qui répond à 9 x, soit qu'on puisse lui assigner une équation analytique, soit qu'elle ne dépende d'aucune loi régulière, il est évident qu'elle servira toujours à réduire d'une manière quelconque la courbe trigonométrique; en sorte que l'aire de la courbe réduite a, dans tous les cas possibles, une valeur déterminée qui donne celle du coefficient de sin. x dans le. développement de la fonction. Il en est de même du coefficient suivant £ ou S (9 .r. sin. nx dx).

1 II faut en général, pour construire les valeurs des coefficients abc de. . . etc., imaginer que les courbes, dont les équations sont