CHAPITRE III. a

^•=sin. xy y—va\. %x,y=.àxi. 3 x, j=sin. 4 x, etc.,

ont été tracées pour un même intervalle sur Taxe des x, depuis x=o jusqua x=«; et qu'ensuite on a changé ces courbes en multipliant toutes leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes d'une même courbe, dont l'équation est 7= ? x. Les équations des courbes réduites, sont:

F=&\n. x. ?xtf=sin. a x.fx,f=&in.3x. ^j^sin. 4*. ç jc.. etc.

Les aires de ces dernières courbes, prises depuis x=o jusqu'à i=iç, seront les valeurs des coefficients abc dote. , dans l'équation

ïicçx=a sin.x + 6 sin.ax + c sin. 3* + </ sin. 4*+ etc.

aai.

On peut aussi vérifier l'équation précédente (D) (art. 220), en déterminant immédiatement les quantités atalai...ai etc., dans l'équation

ça?=a, sin.* -f- a, sin. ïx + a, sin.3 x -4- ... <Zj Mu.Jx 4-... etc. ;

pour cela on multipliera chacun des membres de la dernière équation, par sin. ix.dx, i étant un nombre entier, et l'on prendra l'intégrale depuis x=iO jusqu'à on aura

S{$x.$va.ix.dx)z=a, S(ùn.x sin. ixulx)-\-a% S{ùn.yx.am.ix.dx)

+ . . . aiS(sin.Jx.ûn.ix.dx) + . . . etc.

Or on peut facilement prouver, i° que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre, ont une valeur nulle, excepté le seul terme a. S(sin. îx.sin. ix dx); a° que la valeur de S (sin. «x.sin. ix.dx) est 7 *; d'où l'on con-

dura la valeur de ax, qui est H9f^l^lA dx) . jout se r<;

duit à considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre , et à démontrer les deux propositions précédentes. L'intégrale 2 S (sin. j x.ûn. i x.d x) , prise depuis x = o jusqu'à x — tt, et dans laquelle i et j sont des nombres entiers, est

^sin. (ï^j.x)— j^-j sin. (T+j x) + C.

L'intégrale devant commencer lorsque x=o, la constante C est nulle, et les nombres «et/ étant entiers, la valeur de l'intégrale deviendra nulle lorsqu'on fera x=r,) il s'ensuit que chacun des termes tels que

a, S ( sin. x sin. ix.d x) , a, S (sin. a x.sin. ix.dx) , a, S (sin. 3 x sin. ix.d x) etc.

s'évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres * et j seront différents. Il n'en est pas de même lorsque

les nombres * et j sont égaux, car le terme -A-j sin. (i—j'x)

auquel se réduit l'intégrale, devient ^, et sa valeur est On

a parconséquent aS(sin. ix .sin. ix.dx)— «; on obtient ainsi de la manière la plus briève, les valeurs de a,a,a3o4...^,etc. qui sont :

S (yx.sin.x.dx) S(ç x.sin. ix.dx)

S(f x.sin. Sx.dx) S(ç x.sin. ix.dx) a3 — r— ... Û, = —

En les substituant on a