I1C I/I IIII I I I

Cette dernière série est connue ( introd. ad analysin. infinit, cap. X).

On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en série de cosinus d'arcs multiples. Soit yx la fonction dont on demande le développement^ on écrira:

lx=a.cos.ox+a,cos. x+a2co&.nx+a3co$.3x+...aicos.ix...+etc. (m)

Si l'on multiplie les deux membres de cette équation par cos. j x et que l'on intègre chacun des termes du second membre depuis x=o jusqu'à x=* ; il est facile de s'assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle , excepté pour le seul terme qui contient déjà cos.jx. Cette remarque donne immédiatement le coëfncient ai ; il suffira en général de considérer la valeur de l'intégrale f co&.jx cos. ix dx, prise depuis x = o jusqu'à x = « , en supposant que j et * sont des nombres entiers. On a

Jcos.jx cos. ix dx =7(7£7} ^JT~ix + jg-^ sm.f=ix+ c.

a4o THEORIE DE LA CHALEUR.

Cette intégrale , prise depuis x — o jusqu'à x = * , est évidemment nulle toutes les fois que j et i sont deux nombres différents. Il n'en est pas de même lorsque ces deux

■nombres sqnt égaux. Le dernier terme 2Q__t^ sin. j — i x

devient ^, et sa valeur est x~ ir, lorsque l'arc x est égal à t..

Si donc on multiplie les deux termes de l'équation précédente (m) par cos. ix , et que l'on intègre depuis o jus-

qu'à «, on aura : fox cos. ix dx = - w a,, équation qui fera

connaître la valeur du coefficient ay. Pour trouver le premier coefficient a0 on remarquera que dans l'intégrale

si y = o et *=*o chacun des termes devient 5 , et la valeur

de chaque terme est f*; ainsi l'intégrale fco&. jxco&.ix dx, prise depuis x=o jusqu'à x=n est nulle lorsque les deux nombres entiers j et t sont différents ; elle est 7 « lorsque les deux nombres J et * sont égaux, mais différents de zéro, elle est égale à * lorsque j et i sont l'un et l'autre égaux à zéro , on obtient ainsi l'équation suivante :

x- t: <p x — - /ç x dx -f- cos. x ff x cos. x d x

+ cos.2xjyxcos.2xdx + cos.3xj?xcos.3xdx + etc. (n)

Ce théorème et le précédent conviennent à toutes les fonc-