CHAPITRE III

tions possibles, soit que l'on en puisse exprimer la nature par les moyens connus de l'analyse, soit quelles correspondent à des courbes tracées arbitrairement.

Si la fonction proposée dont on demande le développement en cosinus d'arcs multiples est la variable x elle-même; on écrira l'équation

j 7T x= a, a, cos. x + at cos. 2 x + a% cos. 3 x + . . . -4- a, cos. i x + etc.

et l'on aura , pour déterminer un coefficient quelconque ax ,

it

l'équation a^Jx cos. ixdx. Cette intégrale a une valeur

nulle lorsque 1 est un nombre pair , et est égal à — l- lorsque

i est impair. On a en même temps aa = 7 n'. On formera donc la série suivante ,

I / cos. x ,cos.3x . cos. 5 x f cos. 7 x x = - 7r — 4 4-^ 4 —r> 4 — tz. etc.

On peut remarquer ici que nous sommes parvenus à trois développements différents de £ a:, savoir :

-x=sin.a: — -sin.ax -+- ^sin. 3x — isin.4#+ psin.5.z — etc. a a i 4 J

i#=-sin.a;-+- 57^sin.3#+gr-sin.5*+-r=ain. 7#+ etc.

a w 3 TC DW 7 1ï * .

ia?=iw — |cos.ar — -j^008* 3* — 5^icos — etc'

Il faut remarquer que ces trois valeurs de \ x ne doivent point être considérées comme égales, abstraction faite de

a42 «f THÉORIE DE LA CHALEUR.

toutes les valeurs de x ; les trois développements précédents n'ont une valeur commune que lorsque la variable x est comprise entre o et 7 ir. La construction des valeurs de ces trois séries et la comparaison des lignes dont elles expriment les ordonnées rendraient sensibles la coïncidence et la distinction alternatives des valeurs de ces fonctions.

Pour donner un second exemple du développement d'une fonction en série de cosinus d'arcs multiples, nous choisirons la fonction sin. x qui ne contient que des puissances impaires de la variable, et nous nous proposerons de la développer sous la forme

a + b cos. x + c cos. ax + dœs. '5'x -\ - etc.

En faisant à ce cas particulier l'application de l'équation générale, on trouvera, pour l'équation cherchée,