I . I COS. 2 x cos. 4 x COS.ÔX COS. 8 X

7irSin.J7= ~ - ■— r — etc.

On parvient ainsi à développer une fonction qui ne contient que des puissances impaires en une série de cosinus dans laquelle il n'entre que des puissances paires de la variable. Si on donne à x la valeur particulière 7 tc , on trouvera :

-, ir = - + — -5 — ô-f + k~T 1~ CtC.

Or, de l'équation connue

\-=i — i + l — - + - — --t-etc.

4 3 5 7 9 ii

CHAPITRÉ III. n43

On tire

'& * = 73 + 5^ +£7Ï '+ + etc-

et aussi

8 77 — ï~ T7Ï ~~ J79~ 77T73 ~~ TJ7Ï5 ~~* etc"

en ajoutant.ces deux résultats, on a, comme précédemment, i i , i i i i i i

r=; + 7^~o + 5^-^~H^~~i^3",~ etc-

L'analyse précédente donnant le moyen de développer une fonction quelconque en série de sinus ou de cosinus d'arcs multiples, nous l'appliquerons facilement au cas où la fonction à développer a des valeurs déterminées , lorsque la variable est comprise entre de certaines limites et a des valeurs nulles, lorsque la variable est comprise entre d'autrès limites. Nous nous arrêterons à l'examen de ce cas particulier, parce qu'il se présente dans les questions physiques qui dépendent des équations aux différences partielles, et qu'il avait été propose autrefois comme un exemple des fonctions qui ne peuvent être développées en sinus ou cosinus d'arcs multiples. Supposons donc que l'on ait à réduire en une série de cette forme une fonction dont la valeur est constante , lorsque x est comprise entre o et « , et dont toutes les valeurs sont nulles lorsque x est comprise entre <* et «. On emploiera l'équation générale (m) dans laquelle les intégrales doivent être prises depuis x = o jusqu'à x=ir. Les valeurs de fx qui entrent sous le signe y

étant nulles depuis x—a. jusqu'à x=*\ il suffira d'intégrer depuis x=o jusqu'à x=a. Cela posé, on trouvera, pour la série demandée , en désignant par h la valeur constante de la fonction ,

i ,fi — cos.a . i — cos. 2 oc •

-T7ox=h\ sm.aM ain.zx

+ .-cos.3« 3 x + ij-cos. 4 « siQ 4 x + ^ j

Si l'on fait À = | ir, et que l'on représente le sinus verse de l'arc x par sxn.V.x, on aura :

ç#=sin. V. « sin. sin. V. a « sin. a j sin. V. 3 «sin.3# + j sin. V. 4 a sin. 4 + 7 sin. V. 5 a sin. 5 a? -f- etc.

Cette série toujours convergente est telle que si l'on donne à x une valeur quelconque comprise entre o et a , la somme de ses termes sera \ ic ; mais si l'on donne à x une valeur quelconque plus grande que a et moindre que ~ * la somme des termes sera nulle.

Dans l'exemple suivant, qui n'est pas moins remarquable, les valeufÇ de <p x sont égales à sin. x pour toutes les valeurs de a? comprises entre o et a, et sont nulles pour toutes les valeurs de x comprises entre « et w. Pour trouver la série qui satisfait à cette condition , on emploiera l'équation (m). ' Les intégrales doivent être prises depuis x = o jusqu'à x = it \ mais il suffira, dans le cas dont il s'agit, de prendre ces intégrales depuis x=o jusqu'à ,r=a, puisque les valeurs de 9 x sont supposées nulles , dans* le reste de l'intervalle. On en conclura :