CHAPITRE HI. a

sin.asin.^r . sin.aasin. 2x . sin. 3 a siri. 3 x

etc.

sin. 4*sin.

Si l'on supposait «=x, tous les termes de la série s'évanouiraient, excepté le premier qui deviendrait - , et qui a pour valeur sin. x, on aurait donc 9 x = sin. x.

On peut étendre la même analyse au cas ou l'ordonnée représentée par f x . serait celle d'une ligne composée de différentes parties, dont les unes seraient des arcs de courbes et les autres des lignes droites. Par exemple, si la fonction dont on demande le développement en séries de cosinus

d'arcs multiple, a pour valeur (£)- depuis *= o jus-

qu'à x=7«, et est nulle depuis x = ~ -k jusqu'à âr = «. On emploiera l'équation générale ( n ) , et en effectuant les intégrations dans les limites données, on trouvera que le

terme général j(J^) — - cos- îx dx est égal à ^ lorsque i est impair, à £ lorsque * est double d'un nombre impair, et

à — * lorsque i est quadruple d'un nombre impair. D'un

1 1? ■ autre côté, on trouvera ^ -, pour la valeur du premier terme

l-J yx d x. On aura donc le développement suivant :

Le second membre est représenté par une ligne composée

d'arcs paraboliques et de lignes droites.

On pourra trouver de la même manière le développement dune fonction de a qui exprime d'ordonnée du contour d'un trapèze. Supposons que ?x soit égale à x depuis x=o jusqu'à x=a, que cette fonction soit égale à « depuis x = * jusqu'à x—r. — *, et enfin égale à x — x} depuis x=- — a jusqu'à .r==~. Pour la réduire en une série de sinus d'arcs multiples, on se servira de 1 équation générale (m). Le terme général/^ x sin. LX.dx sera compqse de trois parties diïïe-

reutes, et l'on aura, après |e§ réductions, £sin. (t*) pour le

coefficient de sin. ix, lorsque i est un nombre impair; et zépô pour ce floëfficient, lorsque t est un nombre pair. On parvient ainsi à l'équation :

* r o x = 2 sin. a sin. x -+- sm. o a sin . i x -t- ë; sm- * sm . 5 x ; + 1 sin, 7 « sin. y a: * etc.j (rf

Si l'on supposait a = ~ w, fe trapèze se confondrait avec le triangle isoscèle, et l'on aurait, comme précédemment, pour l'équation du contour de ce triangle :

V 1 y -.-.-.' ' ■:'{ 1. 'v. y. • ' vu .j ,iw ». "O f

car

série qui est; toujours, convergente quelle que soit la val de x. En gçnéral les suites trigonométriques auxquelles nous sommes parvenus, en développant les diverses fonctions, sont toujours convergentes : mais il ne nous a point paru

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