CHAPITRE .III

nécessaire dé le démontrer ici : car les termes qui composent ces suites ne sont que les coefficients des termes des séries qui donnent les valeurs des températures ; >et ces coefficients affectent ides quantités exponentielles qui décroissent très- rapidement, en Sorte que ces dernières séries sont très-convergentes. A l'égard de celles où il n'entre que des sinus ou des cosinus d'arcs multiples, il est également facile de prouver qu'elles sont convergentes, quoiqu'elles représentent les ordonnées des lignes discontinués. Cela ne résulte pas seulement de ce que les valeurs des termes diminuent continuellement; car cette condition ne suffit pas pour établir la convergence d'une série. Il est nécessaire que les valeurs auxquelles on parvient ^ en augmentant continuellement le nombre des termes , s'approchent de plus en plus tiHine limite fixe, et ne s'en écartent que d'une quantité qui peut devenir moindre que toute grandeur donnée : cette limite est la valeur de la série. Or on démontre rigoureusement que les suites dont il s'agit satisfontà cette dernière condition.

Nous reprendrons l'équation précédente (p.) daiis laquelle on peut donner à œ une valeur quelconque ; on considérera cette quantité comme une nouvelle ordonnée , ce qui donnera lieu k la construction suîvante.

Ayant tracé sur le plan des x et y (voy. fig. 8) le rectangle dont la base o « est égale à la demi-circonféVence , et dont la hauteur est ~ , sur le milieu m du côté parallèle à la base on élèvera perpendiculairement au plan du rectangle une ligne égale à £ r, et par l'extrémité supérieure de cette ligne, on tirera des droites aux quatre angles du rectangle. On formera ainsi une pyramide quadrangulairc. Si l'on

a48 THÉORIE DE LA CHALEUR,

porte maintenant sur le petit côté du rectangle, à partir du point o, une ligne quelconque égale à a, et que par l'extrémité de cette ligne on mène un plan parallèle à la base o *, et perpendiculaire au plan du rectangle, la section commune à ce plan et au solide sera le trapèze, dont la hauteur est égale à x. L'ordonnée variable du contour de ce trapèze est égal, comme nous venons de le voir, à

^ (sin. a sin..r + ^ sin. 3 a sin. 3x + ~ sin. 5« sin. 5 x

+ y sin. 7 » sin. jx + etc.) ;

11 suit de là qu'en appelant x, y, z> les coordonnées d'un point quelconque de la surface supérieure de la pyramide quadrangulaire que nous avons formée, on aura pour l'équation dd la surface du polyèdre, entre les limites

i sin. x sin. y sin. 3 x sin. 3v sin. 5 x sin. 5 y

~*g= 7+ —3; z+ J- + etc.

Cette série convergente donnera toujours la valeur de l'ordonnée z ou de la distance d'un point quelconque de la surface au plan des x et y.

Les suites formées de Sinus ou de cosinus d'arcs multiples sont donc propres à représenter entre des limites déterminées , toutes les fonctions possibles , et les ordonnées des lignes ou des surfaces dont la loi est discontinue. Non seulement la possibilité de ces développements est démontrée , mais il est facile de calculer les termes des séries; la valeur d'un coefficient quelconque dans l'équation :

rp ■

9#=at sin.tf + tf, sin.247 + a3 sin. 3# + ....+aiSin.*.z+etc.