CHAPITRE III. *49 est celle d'une intégrale définie, savoir

^J* sin. ix.dx.

Quelle que puisse être la fonction tpx, ou la forme de la courbe qui la représente, l'intégrale a une valeur déterminée qui peut être introduite dans le calcul. Les valeurs de ces intégrales définies sont analogues à celle de l'aire totale fy xdx comprise entre la courbe et l'axe dans un intervalle donné, ou à celles des quantités mécaniques, telles que les ordonnées du centre de gravité de cettè aire ou d'un solide quelconque. Il est évident que toutes ces quantités ont des valeurs assignables soit que la figure des corps soit régulière, soit qu'on leur donne une forme entièrement arbitraire.

Si l'on applique ces principes à la question du mouvement des cordes vjbrantes, on résoudra les difficultés qu'avait d'abord présentées l'analyse de Daniel Bernouilli. La solution donnée par ce géomètre suppose qu'une fonction quelconque peut toujours être développée en séries de sinus ou de cosinus d'arcs multiples. Or de toutes les preuves de cette proposition la plus complète est celle qui consiste à résoudre en effet une fonction donnée en une telle série dont on détermine les coefficients.

Dans les recherches auxquelles on applique les équations aux différences partielles, il est souveut facile de trouver des solutions dont la somme compose une intégrale plus générale : mais l'emploi de ces intégrales exigeait que l'on en déterminât l'étendue, et que l'on pût distinguer

a6o THÉORIE DE LA CHALEUR.

clairement les cas où elles représentent l'intégrale générale de ceux où elles n'en comprennent qu'une partie. Il était nécessaire sur-tout d'assigner les valeurs des constantes, et c'est dans la recherche des coefficients que consiste la difficulté de l'application. Il est remarquable que l'on puisse exprimer par des séries convergentes, et, comme on le verra dans la suite, par des intégrales définies, les ordonnées des lignes et des surfaces qui ne sont point assujéties à une loi continue. On voit par-là qu'il est nécessaire d'admettre dans l'analyse des fonctions qui ont des valeurs égales, toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données, tandis qu'en substituant dans ces deux fonctions, au lieu de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle les résultats des deux substitutions ne sont point les mêmes. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes différentes, qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours , et offrent une espèce singulière d'osculation finie. Ces considérations prennent leur origine dans le calcul des équations aux différences partielles; elles jettent un nouveau jour sur ce calcul, et serviront à en faciliter l'usage dans les théories physiques.

Les deux équations générales qui expriment le développement d'une fonction quelconque en cosinus ou en sinus d'arcs multiples donnent lieu à plusieurs remarques qui font connaître le véritable sens de ces théorèmes, et en dirigent l'application.

Si dans la série

a + b cos. x-\-c cos. 2,x + dcos. 3x + e cos. t\x -t- etc.

CHAPITRE III. aSi on rend i»égative la valeur de x, la série demeure la même, et elle conserve aussi sa valeur si Ton augmente la variable d'un multiple quelconque de la circonférence a*. Ainsi dans l'équation

+ cos.3.r y p x cos. a* dx + cos.3 xj yxco&.Zxdx + etc. (v)

la fonction 9 est périodique, et représentée par une courbe composée d'une multitude d'arcs égaux, dont chacun correspond sur l'axe des abscisses à un intervalle égal à a t.. De plus chacun de ces arcs est composé de deux branches symétriques qui répondent aux deux moitiés de l'intervalle égal à air.

Supposons donc que l'on trace une ligne d'une forme quelconque ? 9 * et qui répande à un intervalle égal à * , ( voyez fig. 9). Si l'on demande une série de la forme

a + b co&.x-\-c cos. a x + d cos. 3 x 4- etc.

telle qu'en mettant au lieu de x une valeur quelconque X comprise entre o et k , on trouve pour la valeur de la série celle de l'ordonnée X 9, i] sera facile de résoudre cette question : car les coëfïicients donnés par l'équation (m) sont

£ Ç fxd*k | j fjscos. uxdx, ^Jfxcos.lxdx, etc.

Les diverses intégrales qui sont prises de x = o à x=t:, ayant toujours des valeurs mesurables comme celle de l'aire o 9 « ît, et la série formée par ces coefficients étant toujours

a54 THÉORIE DE LA CHALEUR.

est représentée par une ligne formée de deux arcs égaux placés symétriquement de part et d'autre de l'axe des y, dans l'intervalle de* — « à 4- « (voy. fig. n); cette condition est exprimée ainsi çx=<p ( — x). La ligne qui représente la fonction1 $ x est au contraire formée dans le même intervalle de éeuX ares opposés , cè quexorime Téquation

Uhe fonclion iqnetconque F* , représentée par une ligne tracée arliitrainrràeat dans i'întenralle de — . « à -4- *T peut txHvjioiimlêtre partagée en deux foliotions telles que yx et <{»x. En effet , si la ligne F' F' m FF représente la fonction Fi, et que IWm irJmie par 4* point o l'ordonnée osw, on tracera par le point m 6, droite de it'axè a m l'arc m ff semblable à l'arc m F' ff! de 'ftacoarbo «tannée., et à gauche du même mon tracera ïamemf /' semblable à l'arc «FF; ensuite on fera passer par le point m une ligne f f m ? ? qui partagera en deux parties égales la différence de chaque ordonnée x F ou> x'f* à l'ordonnée correspondante xf ou x'F. On tracera aussi la ligne <{/<{/ o <J> <|» , dont l'ordonnée mesure la différence de l'ordonnée de F' F' m F F à celle de ff 171 ff posé*, les ordonnées de la ligne F' F' m F F et de la ligne ff niff étant désignées l'une par Fa* et la seconde par fxrçn aura évidemment/.r=F(— désignant aussi l'ordonnée de ç'?' m ?p par <pxh et celle de 4>V o tyty par on aura;, „ , fl;!)

Fx = 9« + ^-+ et fx=<fx — <j>x=F( — x)

donc - ' 'i < ■v-t,,;':<; ' ' :,î ' ■

.^^.F^^-^et^^iF^-iFHo.),

;; CHAPITRE III. »55 on en conclut

9x=z9(~x) et <{,x= — -x)\

ce que fa construction ïetid d'ailleurs évident :

Ainsi les deux fonctions ?x et tyx, dont la somme équivaut à Far, peuvent être développées l'une en cosinus d'arcs* multiples et l'autre en sinus. ;

Si l'on applique à la première fonction l'équation (v), et à la seconde l'équation en prenant dans l'une et l'autre les iutégrales depuis x= — * jusqu'à ar=s=wv et A i'o»ajovte les deux résultats , on aura

- + cos.xf9x</x+co$.2xf<fxc03.2xtix-i-elc. ;(?a?4-^x)— rFar=- Uxdx t

J 4-sin. x/ifx dx-\-tAn.-kx/ifxtÀa. ixdx + etc.

les intégrales doivent être prises depuis &±±^— * jtisqti'à H faut remarquer maintenant que dans l'intégràle

/yx cos. a* dx on pourrait, sans en changer la valeur, J ■ r

mettre ?#-t~4>ar au lieu de q> av ear la fonction cos. a? étant* composée, à droite et à gauche de l'axe des x, de deux parties semblables, et la fonction Ix étant au contraire formée de

deux parties opposées, l'intégrale j^xcos.xdx est nulle. Il

en serait de même si Ton mettait cos. won cos. 3 a; et eu général cos. i x au lieu de cos. a-, * étant un des nombres entiers de-

puis o jusqu'à l'infini. Ainsi f intégrale^ ça- Cos ià d x est îa

a56 THÉORIE DE LA CHALEUR,

même que l'intégrale

-Ht -W

j*(tyx + tyx) cos. ix dx ou J^x cos. *'# ;

On reconnaîtra aussi que l'intégrale foxain. ix dx est égale

à l'intégrale sin. * x dx, parce que l'intégrale

JifX sin. «a; </x — «

est nulle. On obtient par-là 1 équation suivante (/>), qui sert à développer une fonction quelconque en une suite formée de sinus et de cosinus d'arcs multiples ;

- -t-cos.ar/Forcos. xdx+cos. ax/Txcos. *xdx+etc.

Fx=- IFxdx [p] • *J +8in.*/Fxwo, xdx + $in, *xffxtin.*xdx +etc.

La fonction F a?, qui entre dans cette équation, est représentée par une ligne FF FF, d'une forme quelconque. L'arc FF FF, qui répond à l'intervalle de — irà+Tr, est arbitraire; toutes les autres parties de la ligne sont déterminées, et l'arc F F FF est répété dans tous les intervalles consécutifs dont la longueur est a*. Nous ferons des applications fréquentes dé ce théorème, et des^ équations précédentes (m) et (n).

CHAPITRE III. 25j Si Ton suppose dans I équation (p) que la fonction Fx est représentée, dans l'intervalle de — x à + x, par une ligne * composée de deux arcs égaux symétriquement placés, tous les termes qui contiennent les sinus s'évanouiront, et l'on trouvera l'équation (m). Si au contraire la ligne qui représente la fonction donnée Fx est formée de deux arcs égaux de situation opposée, tous les termes qui ne contiennent point les sinus disparaissent , et l'on trouve l'équation («). En assujétissant la fonction Px à d'autres conditions , on trouverait d'autres résultats. ,

On écrira dans l'équation générale (/?), au lieu de la variable x, la quantité x*, x désignant une autre variable, et ir la longueur de l'intervalle dans lequel est placé l'arc qui représente Fx; cette fonction sera F (k*^ » que nous désignerons par fx. Les limites qui étaient x— — «et x—x

deviendront = — r , x * = x ; on aura donc, après la substitution

+r -l-COS. (x*)^XCOS.(^)rf* + COS.(ax*)^^

fx=\jfxdx (P) + sin. (ir*)Jfxsin.(™)dx+sin. (ar')j/xsin. (2x*) etc.

toutes les intégrales doivent être prises comme la première, de x— — r à x= + r. Si l'on fait la même substitution dans les équations (») et (m), on aura

}rfx=jfxdx + cos. («7) Jfx cas. (v*^ dx + cos. (jiv*-^ jf xco&. (2**^ dj. + etc.

a6o THÉORIE DE LA CHALEUR.

données. Cette remarque s'applique à un nombre quelconque de séries.

3° La série (P) (art. a34) qui donne le développement d'une fonction Fx en une suite de sinus et de cosinus d'arcs multiples , peut être mise sous cette forme :

-+-cos. x/Facos.a</a-(-cos. ax/Tacos. aa^a+etc.

-+- sin. xfY a sin. a d a + sin. a x/Y « sin. iad a+etc.

a étant une nouvelle variable qui disparaît après les intégrations. On a donc

, ¥ 4- cos. or cos. a -f- cos. a * cos. aa + cos. 3xcos. 3<z-f-etc.\ *Fx=f¥ad* \l- l J * 3 -+- sin. x sin. « -+- sin, a x sin. a et + sin. a x sin. 3 s -f- etc.)

OU Fx = l-f(^ + COS.X — a -+- COS. 2.T — a + COS. 3 . X — a 4- etc.)

Donc, en désignant par 2 cos. ix — la somme de la série précédente , prise depuis *= i jusqua i = - , on aura

Fx=- fFudaÇ 2cos.tx — a -+-

L'expression - + 2 cos ix — a représente une fonction de x

et de a telle que si on la multiplie par une fonction quelconque Fa, et, si après avoir écrit d*, on intègre entre les limites <x= — * et on aura changé la fonction pro-

posée F a en une pareille fonction de x multipliée par la demi-circonférence r. On verra par la suite quelle est la nature de ces quantités , telles que l- + 2 cos. ix — a, qui jouissent de la propriété que l'on vient d'énoncer.