CHAPITRE III. a6i
4° Si dans les équations (M) (N) et (P) (art. a34) qui étant divisées par r donnent le développement d'une fonction fx, on suppose que l'intervalle r devient infiniment grand; chaque terme de la série est un élément infiniment petit d'une intégrale; la somme de la série est alors représentée par une intégrale définie. Lorsque les corps ont des dimensions déterminées, les fonctions arbitraires qui représentent les températures initiales ,"et qui entrent dans les intégrales des équations aux différences partielles, doivent être développées en séries analogues à celles des équations (M), (N), (P); mais ces mêmes fonctions prennent la forme des intégrales définies, lorsque les dimensions' des corps ne sont point déterminées , comme on l'expliquera dans la suite de cet ouvrage, en traitant de la diffusion libre de la chaleur.
SECTION VII
Application à la question actuelle.
Nous pouvons maintenant résoudre d'une manière générale la question de la propagation de la chaleur dans une lame rectangulaire BAC, dont l'extrémité A est constamment échauffée, pendant que ses deux arêtes infinies B et C sont retenues à la température o.
Supposons que la température initiale de tous les points de la table BAC soit nulle , mais que celle de chaque point m de l'arête A soit conservée par une cause extérieure quelconque, et que cette valeur fixe soit une fonction fx de la
a64 THÉORIE DE LA CHALEUR.
On a
e (j+p ^- + e->(s+P v-)^e-Hs+Pv=7) +etc — ir+py/^) ç—ir—pv^)
ou
, , . cos. p — e
*Cr»/0=
tf^ — acos./) + « r
donc
OU
^V—j fada.
cos. x — a — e cos. x+a — «
tf'r — 2cos. x — a + e * e7 — a coa.x-f a -H e 7
a(g,y — g r) sin. a?. «in.
(«^ — acos. x — a + e — acos.x+ot + e
ou décomposant le coefficient en deux fractions,
„j£=fÛ f/.d.(- — '=-=--- '=r-^\
J V<î — acos-x — a+e J eJ — a cos. x-hx+e J
Cette équation contient sous la forme finie, et en termes
réels, l'iiitégrale de l'équation -+- = o, appliquée à
la question du mouvement uniforme de la chaleur dans un solide rectangulaire, exposé par son extrémité à l'action constante d'un seul foyer.
CHAPITRE III. 265 Il est facile de reconnaître les rapports de cette intégrale avec l'intégrale générale , qui a deux fonctions arbitraires ; ces fonctions se trouvent déterminées par la nature même de la question, et il ne reste d'arbitraire que la fonction fa> considérée entre les limites « = o et a = r. L'équation (a) représente, sous une forme simple, propre aux applications numériques, cette même valeur de v réduite en une série convergente.
• Si l'on voulait déterminer la quantité de chaleur que le solide contient lorsqu'il est parvenu à son état permanent; on prendrait l'intégrale/T/a: f dyv depuis x=o jusqu'à x=it^
et depuis/= o jusqu a j= - ; le résultat serait proportionnel
à la quantité cherchée. En général il n'y a aucune propriété du mouvement uniforme de la chaleur dans une lame rectangulaire, qui ne soit exactement représentée par cette solution. Nous envisagerons maintenant les questions de ce genre sous un autre point de vue, et nous déterminerons le mouvement varié de la chaleur dans les différents corps.
