CHAPITRE IV

en y faisant h = o: on conclut de là que les différents points de l'anneau se refroidissent successivement , par l'action du milieu, sans que cette circonstance trouble en aucune manière la loi de la distribution de la chaleur.

En effet, en intégrant l'équation ^ = K j^p, on trouverait

les valeurs de u qui répondent aux différents points de l'anneau dans un même instant, et l'on connaîtrait quel serait l'état du solide si la chaleur s'y propageait sans qu'il y eût aucune déperdition à la surface; pour déterminer ensuite quel aurait été l'état du solide au même instant, si cette déperdition eût eu lieu, il suffirait de multiplier toutes les valeurs de u prises pour les divers points, et pour un même instant, par une même fractiort qui este-*'. Ainsi le refroidissement qui s'opère à la surface ne change point la loi de la distribution de la chaleur; il en résulte seulement que la température de chaque point est moindre qu'elle n'eût été sans cette circonstance , et elle diminue pour cette cause proportionnellement aux puissances successives de la fraction

La question étant réduite à intégrer l'équation tt^&tzû»»

on cherchera, en premier lieu, les valeurs particulières les plus simples que l'on puisse attribuer à la variable a ; on en composera ensuite une valeur générale, et l'on démontrera que cette valeur est aussi étendue que l'intégrale qui contient une fonction arbitraire en x, ou plutôt qu'elle est cette intégrale elle-même, mise sous la forme qu'exige la question, en sorte qu'il ne peut y avoir aucune solution différente.

a68 THÉORIE DE LA CHALEUR.

On remarquera d'abord que l'équation est satisfaite si l'ou donne à u la valeur particulière aemt sin. nx, m et n étant assujétis à la condition m= — Kn\ On prendra donc pour

une valeur particulière de u la fonction a e sin. n x.

Pour que cette valeur de u convienne à la question , il faut quYlle ne change point lorsque la distance x est augmentée de la quantité 2 ir r, r désignant le rayon moyen de l'anneau. Donc 2 » r r doit être un multiple * de la circonférence 2 r. ;

ce qui donne n = l- . On peut prendre pour i un nombre

entier quelconque; on le supposera toujours positif parce que, s'il était négatif, il suffirait de changer dans la valeur

a e sin. n x le signe du coefficient a. Cette valeur parti-

culière ae r* sin. ^ ne pourrait satisfaire à la question proposée qu'autant qu'elle représenterait l'état • initial du solide. Or en faisant t = o , on trouve n = a sin. ^ : supposons donc que les valeurs initiales de u soient exprimées en effet par a sin. ~, c'est-à-dire que les températures primitives des dijférents points soient proportionnelles aux sinus des angles compris entre les rayons qui passent par ces points et celui qui passe par l'origine, le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de l'anneau sera exactement

représenté» par l'équation uz^ac ''sin.— , et si l'on a égard à la déperdition de la chaleur par la surface, on