CHAPITRE IV. a

trouvera i> = a e""^"4"^ ' sin. *. Dans le cas dont il s'agit,

qui est le plus simple de tous ceux que l'on puisse concevoir, les températures variables conservent leurs rapports primitifs, et celle d'un point quelconque diminue comme les puissances successives dune fraction qui est la même pour tous les points.

On remarquera les mêmes propriétés si l'on suppose que les températures initiales sont proportionnelles au sinus du

double de l'arc - , et cela a lieu en général lorsque les températures données sont représentées par a sin. i^, i étant un nombre entier quelconque.

On arrivera aux mêmes conséquences, en prenant pour valeur particulière de u la quantité a e cos. /* x : on

a aussi 2 n t. r = 2 i % et n = - : donc l'équation

— k — ix u — ae r' cos.—

exprimera le mouvement de la chaleur dans l'intérieur de . l'anneau si les températures initiales sont représentées par

cos. — r

Dans tous ces cas , où les températures données sont proportionnelles aux sinus ou aux cosinus d'un multiple de

l'arc — , les rapports établis entre ces températures subsistent continuellement pendant la durée infinie du refroidis-

sèment. Il en serait de même si les températures initiales

étaient représentées par la fonction a sin. ~ + b cos. ~ ,

t étant un nombre entier, a et b des coefficients quelconques.

Venons maintenant au cas général dans lequel les températures initiales n'ont point les rapports que l'on vient de supposer, mais sont représentées par une fonction quelconque Fjc. Donnons à cette fonction la forme 9 en sorte

qu'on ait F x = ? , et concevons que la fonction 9

est décomposée en une série de sinus ou de cosinus d'arcs multiples affectés de coefficients convenables. On posera l'équation

a sin. (o ^-f-a.sin.^i y) +o,sin. (2-) •+■ etc.

+ £„cos. (o -f- bx cos. (1 -t- cos. (2*) + etc.

Les nombres aa a, ax.. . b, b, b, . . . sont regardés comme connus et calculés d'avance. Il est visible que la valeur de u sera alors représentée par l'équation :

u=ba+

a, sin. -