CHAPITRE IV. uni

parce qu'elle est la somme de plusieurs valeurs particulières; 20 elle ne changera point lorsqu'on augmentera la distance x d'un multiple quelconque de la circonférence de l'anneau; 3° elle satisfera à l'état initial, parce qu'en faisant / = o, on trouvera l'équation (e). Donc toutes les conditions de la question seront remplies, et il ne restera plus qu'à

multiplier par f~ht cette valeur de u.

A mesure que le temps t augmente , chacun des termes qui compose la valeur de u devient de plus en plus petit ; le système des températures tend donc continuellement à se confondre avec letat régulier et constant dans lequel la différence de la température u a la constante ba est re-

a sin. ^ -f- b cos. ~j e r» . Ainsi les valeurs particulières que nous avons considérées précédemment, et dont nous composons la valeur générale, tirent leur origine de la question elle-même. Chacune d'elles représente un état élémentaire qui peut subsister de lui-même dès qu'on le suppose formé ; ces valeurs ont une relation naturelle et nécessaire avec les propriétés physiques de la chaleur.

Pour déterminer les coefficients a0a, a, a,. . . b.b, b, bt etc. on emploiera l'équation (n) art. a34T qui a été démontrée dans la dernière section du chapitre précédent.

L'abscisse totale désignée par X dans cette équation sera 2, ts rt x sera l'abscisse variable , et f x représentera 1 état initial de l'anneau, les intégrales seront prises depuis x=o

27a THÉORIE DE LA CHALEUR,

jusqu'à x=n « r, on "aura donc

cos. 0) yêos. + cos-

rfx=±Jfxdx + +<*

sin. 0) ^ sin. (*) A + sin- (2 7) ^sin. (2^)/* àz

Connaissant ainsi les valeurs de a0 a, at a3 . . . 6, bt bt , etc. on les substituera dans l'équation , et l'on aura l'équation suivante , qui contient la solution complète de la question

gos. - / ( cos. — fx d x j

e r* sin.^a'^ysin.^a^/xrfjji cos.(2f)Jcos.(2*)fxdi

Toutes les intégrales doivent être prises depuis x = o

jusqu'à x = a w r. Le premier terme ^ 1 qui sert à

former la valeur de v, est évidemment la température moyenne initiale, c'est-à-dire, celle qu'aurait chaque point si toute la chaleur initiale était également répartie entre tous les points.

On peut appliquer l'équation précédente (E), quelle que soit la forme de la fonction donnée f x. Nous considérerons deux cas particuliers, savoir: i° celui qui a lieu lorsque l'anneau ayant été élevé par l'action d'un foyer à des températures permanentes, on supprime tout-à-coup le foyer; a° le cas où la moitié de l'anneau échauffée également dans

CHAPITRE IV. 273 tous ses points serait réunie subitement à l'autre moitié qui aurait , dans toutes ses parties , la température initiale o.

On a vu précédemment (art. 106) que les températures permanentes de l'anneau sont exprimées par l'équation

x ce 1 t 1 S^* '

v =a a 4- b a , et la quantité a a pour valeur e ^ **,

l est le contour de la section génératrice , et s la surface de cette section. Si l'on suppose qu'il y ait un seul foyer, il sera

nécessaire que l'on ait l'équation ^ = 0 au point opposé à

celui qui est occupé parle foyer. La condition a<tX — boTx=o sera donc satisfaite en ce point. Regardons , pour plus de

facilité dans le calcul, la fraction y- comme égale à l'unité, et prenons le rayon r de l'anneau pour le rayon des tables trigonométriques , on aura v—aex+ be~* \ donc l'état initial de l'anneau est représenté par l'équation

v = be le 4- e y

Il ne reste plus qu'à appliquer l'équation générale (E) , et en désignant par M la chaleur moyenne initiale, on aura

MU~?T7e +~ÏTZe +TïTe

Cette équation exprime l'état variable d'un anneau solide , qui , ayant été échauffé par un de ses points et élevé à des températures stationnaires , se refroidit dans l'air après la suppression du foyer.

a74 THÉORIE DE LA CHALEUR.

Pour faire une seconde application de l'équation générale (E) nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée, qu'une moitié de l'anneau comprise depuis x=o jusqu'à jr=w a dans tous ses points la température i et que l'autre partie a la température o. Il s'agit de détermjner l'état de l'anneau après un temps écoulé t.

La fonction fx qui représente l'état initial est telle dans ce cas que sa valeur est i toutes les fois que la variable est comprise entre o et r. Il en résulte que l'on doit supposer f x = i et ne prendre les intégrales que depuis x = o jusqu'à x = ir , les autres parties des intégrales sont nulles d'après l'hypothèse. On obtiendra d'abord l'équation suivante qui donne le développement de la fonction proposée dont la valeur est i depuis x — o jusqu'à x=sie et nulle depuis x = r jusqu'à x = a *

fx=^ + ?Çs\n.x + ^s\n. 3x+^s\n.5x+^s\n.'fx + etc.)

Si maintenant on substitue dans l'équation générale les valeurs qu'on vient de trouver pour les coefficients constants , on aura l'équation

-Ttv=.e [^•K+sxn.xe +^sin.oxe -f-^sin.oxe -4- etc.

qui exprime la loi suivant laquelle varie la température à chaque point de l'anneau, et fait connaître son état après un terme donné, nous nous bornerons aux deux applications précédentes, et nous ajouterons seulement quelques observations sur la solution générale exprimée par l'équation (E)