CHAPITRE IV

i° Si 1 on suppose k infini, l'état de l'anneau sera exprimé ainsi w r 'v = e~~ fxdx, ou désignant par M la température moyenne initiale a>=e~^M. La température d'un point quelconque deviendra subitement égale à la température moyenne et les différents points conserveront toujours des températures égales, ce qui est une conséquence nécessaire de l'hypothèse où I on admet une conducibilité infinie.

a° On aura le même résultat si le rayon r de l'anneau est infiniment petit.

3° Pour trouver la température moyenne de l'anneau après un temps t il faut prendre l'intégrale f fx dx depuis x = o jusqu'à x = 2 ir r, et diviser par 2 w r. En intégrant entre ces limites les différentes parties de La valeur de u, et supposant ensuite x = 2 » r, on trouvera que les valeurs totales des intégrales sont nulles excepté pour le premier terme ; la température moyenne a donc pour valeur , après

le temps t, la quantité e M.^ Ainsi, la température moyenne de l'anneau décroît de la même manière que si la conducibilité était infinie, les variations occasionnées par la propagation de la chaleur dans ce solide n'influent point sur la valeur de cette température.

Dans les trois cas que nous venons de considérer la température décroît proportionnellement aux puissances de la

fraction e~~A, ou, ce qui est la même chose, à l'ordonnée

d'une courbe logarithmique, l'abscisse étant égale au temps écoulé. Cette loi est connue depuis long-temps, mais il faut

<a76 THÉORIE DE LA CHALEUR.

remarquer qu'elle n'a lieu en général que si les corps ont une petite dimension. L'analyse précédente nous apprend que si le diamètre d'un anneau n'est pas très-petit , le refroidissement d'un point déterminé ne serait pas d'abord assujéti à cette loi, il n'en est pas de même de la température moyenne qui décroît toujours proportionnellement aux ordonnées d'une logarithmique. Au reste , il ne faut point perdre de vue que la section génératrice de l'armille est supposée avoir des dimensions assez petites pour que les points de la même section ne différent point sensiblement de température.

4° Si Ton voulait connaître quelle est la quantité de chaleur qui s'échappe dans un temps donné par la superficie d'une portion donnée de l'anneau , il faudrait employer l'intégrale h If dtfu dxy et prendre cette intégrale entre les limites qui se rapportent au temps. Par exemple, si l'on

choisit o, 2 tc pour les limites de x, et o, £ pour les limites de t, c'est-à-dire si l'on veut déterminer toute la quantité de chaleur qui s'échappe de la superficie entière pendant toute la durée du refroidissement, on doit trouver après les intégrations un résultat égal à toute la chaleur initiale , ou 2. 1c r M , M étant la température moyenne initiale.

5° Si l'on veut connaître combien il s'écoule de chaleur dans un temps donné , à travers une section déterminée de

l'anneau , il faudra employer l'intégrale — KSj* de ^ , en

mettant pour^ la valeur de cette fonction, prise au point dont il s'agit.