CHAPITRE IV. a79 et substituant cette valeur de é\ , ôti a

cos.—

Si l'on prend maintenant pour origine des abscisses le point qui répondait à l'abscisse X , et que Ton désigne par u la nouvelle abscisse x - X, on aura ; ; iit;.

A l'origine où l'abscisse u est o et au point opposé, la température v est toujours égale à la température moyenne ; ces deux points 'divisent la* tirconférencé de l'anneau' en deux parties dont l'état est pareil, niais de signe opposé; chaque point de l'une de ces parties a une température qui excède la température moyenne et la quantité de , cet excès est proportionnelle au sinus de la distance à l'origine. Chaque point de l'autre partie a une température moindre que la température moyerine et 1a différence est la même que l'excès dans le point opposé. Cette distribution symétrique de la chaleur subsiste pendant toute la durée du refroidissement. Il s'établit aux deux extrémités de la moitié échauffée, deux flux de chaleur dirigés vers la moitié froide et dont l'effet est de rapprocher continuellement l'une et l'autre moitié de l'armille de la température moyenne.

On remarquera maintenant que dans l'équation générale qui donne la valeur de v chacun des termes est de la forme

/ . . * , . jr\ — *a -4- * '

(a< sin. i- -+- b, cos. i - j e ,

28o THÉORIE DE LA CHALEUR.

on pourra donc tirer, par rapport à chaque terme, des conséquences analogues aux précédentes. En effet, désignant par X la distance pour laquelle le coefficient

a, sin. i - + bi cos. i —

est nul , on aura l'équation = — at tang. t — , et cette substitution donne , pour la valeur du coëfficient ,

a sin. * »

a étant une 'constante. Il suit de là qu'en prenant pour l'origine des coordonnées le point dont l'abscisse était X , et désignant pari* la nouvelle abscisse a? — X, on aura pour exprimer les changements de cette partie de la valeur de v

la fonction a e~ ht sin. -

Si cette même partie de la valeur de v subsistait seule en sorte que les coefficients de toutes les autres fussent nuls, l'état de Vanneau serait représenté par la fonction

ht i' — . / . u\

ae e r' sin. ( i. - )

et la température de chaque point serait proportionnelle au sinus du multiple i de la distance de ce point à l'origine. Cet état est analogue à celui que nous avons décrit précédemment , il en diffère en ce que le nombre des points qui ont une même température toujours égale à la température moyenne de l'anneau n'est pas seulement 2, mais en général égal à a 1. Chacun de ces points ou nœuds sépare deux

CHAPITRE IV. 281 portions contiguës de l'anneau qui sont dans un état semblable, mais de signe opposé. La circonférence se trouve ainsi divisée en plusieurs parties égales dont l'état est alternativement positif ou négatif. Le flux de la chaleur est le plus grand possible dans les nœuds, il se dirige toujours vers la portion qui est dans l'état négatif, et il est nul dans le point qui est à égale distance de deux nœuds consécutifs. Les rapports qui existent alors entre les températures se conservent pendant toute la durée du refroidissement, et ces températures varient ensemble très- rapidement proportionnellement aux puissances successives de la fraction

Si Ton donne successivement à * les valeurs o , 1 , a , 3 , 4 1 etc. on connaîtra tous les états réguliers et élémentaires que la chaleur peut affecter pendant qu'elle se propage dans un anneau solide. Lorsqu'un de ces modes simples est une fois établi, il se conserve de lui-même ; et les rapports qui existaient entre les températures ne changent point; mais quels que soient ces rapports primitifs et de quelque manière que l'anneau ait été échauffé; le mouvement de la chaleur se décompose de lui-même en plusieurs mouvements simples , pareils à ceux que nous venons de décrire, et qui s'accomplissent tous à-la-fois sans se troubler. Dans chacun de ces états la température est proportionnelle au sinus d'un certain multiple de la distance à un point fixe. La somme de toutes ces températures partielles , prises pour un seul point dans un même instant , est la température actuelle de ce point. Or, les parties qui composent cette somme décrois-

a8n THÉORIE DE LA CHALEUR.

sent beaucoup plus rapidement les unes que les autres. Il en résulte que ces états élémentaires de l'anneau qui correspondent aux différentes valeurs de i, et dont la superposition détermine le mouvement total de la chaleur, disparaissent en quelque sorte les uns après les autres. Ils cessent bientôt d'avoir une influence sensible sur la valeur de la température, et laissent subsister seul le premier d'entre eux pour lequel la valeur de i est la moindre de toutes. On se formera de cette manière une idée exacte de la loi suivant laquelle la chaleur se distribue dans une ai mille, et se dissipe par sa surface. L'état de l'armille devient de plus en plus symétrique; il ne tarde point^à se confondre avec celui vers lequel il a une tendance naturelle, et qui consiste en ce que les températures des différents points doivent être proportionnels aux sinus d'un même multiple de l'arc qui mesure la distance à l'origine. La disposition initiale n'apporte aucun changement a ces résultats.

SECTION II. , :î "'

De la communication de la chaleur entre des masses 1 " disjointes. ' " '" '

Nous avons maintenant à faire remarquer la conformité de l'analyse précédente avec celle que Ton doit employer pour déterminer 'les lois de îa propagation de la chaleur entré des masses disjointes; nous arriverons ainsi à une seconde solution de la question du mouvement de la chaleur dans line armillé. La comparaison' de deux résultats fera

CHAPITRE 111 a83 connaître les véritables fondements de la méthode que nous avons suivie, pour intégrer les équations de la propagation de la chaleur dans les corps continus. Nous examinerons en premier lieu un cas extrêmement simple, qui est celui de la communication de la chaleur entre deux masses égales.

Supposons que deuxi masses cubiques m et n d égale dimension et de même matière soient inégalement échauffées; que leurs températures respectives soient a e\ ù, et qu'elles soient dune conducibilit» infinie. Si l'on mettait ces deux corps en contact, la température deviendrait subitement égale dans lune et l'autre à la température moyenne £ (a + b). Suppôsons que les deux' masses soient séparées par un trèspetit intervalle, qu'une tranche infiniment petite du premier corps s'en détache pour se joindre au second, et quelle retourne au premier immédiatement après le contact. En continuant ainsi dé se porter alternativement , et dans des temps égaux et infiniment petits, de l'une des masses à l'autre, la tranche interposée fait passer successivement la chaleur chi corps le plus échauffé dans celui qui Test moins; il s'agit de déterminer quelle serait, après un temps donné, la température de chaque corps, s'ils ne perdaient par leur surface aucune partie de la chaleur qu'ils contiennent. On ne suppose point que la transmission de la chaleur dans les corps solides continus s'opère d'une manière semblable à celle que l'on vient de décrire : on veut seulement déterminer par le calcul le résultat d'une telle hypothèse.

Chacune des deux masses jouissant d'une eonducibilité parfaite , la quantité de chaleur contenue dans la tranche infiniment petite, s'ajoute subitement à celle du corps avec lequel elle est en contact; et il en résulte une température

a84 THÉORIE DE LA CHALEUR,

commune égale au quotient de la somme des quantités de chaleur par la somme des masses. Soit <* la masse de la tranche infiniment petite qui se sépare du corps le plus échauffé dont la température est a ; soient a et p les températures variables qui correspondent au temps t, et qui ont pour valeurs initiales a et b. Lorsque la tranche u se sépare de la masse m qui devient m — w , elle a comme cette masse la température a , et dès qu'elle touche le second corps affecté de la température p , elle prend en même temps

que lui une température égale à La tranche « re-

tenant cette dernière température, retourne au premier corps dont la masse est m — » et la température «. On trouvera donc pour la température après le second contact

« (m -«0)+ (-t^J w ou

Les températures variables « et 8 deviennent, après l'instant d t , a + (« — p) ~ et 6 h- (« — p) £ ; on trouve ces valeurs en supprimant les puissances supérieures de w. On a ainsi d* — — (a — B) — et */p = (a — B) — ; la masse

tu tn qui avait la température initiale p a reçu, dans un instant, une quantité de chaleur égale à /ra é? p ou (a — p) », laquelle a été perdue dans le même temps par la première masse. On voit par-là que la quantité de chaleur qui passe en un iustant du corps plus échauffé dans celui qui l'est moins, est, toutes choses d'ailleurs égales, proportionnelle à la différence actuelle des températures de ces deux corps. Le

CHAPITRE IV. 285 temps étant divisé en intervalles égaux, la quantité infiniment petite <» pourra être remplacée par k dt , k étant le nombre des unités de masse dont la somme contient u autant de fois que l'unité de temps contient d t, en sorte que

l'on a — = On obtient ainsi les équations = — (« — et de rfja = («— $)-dt.

Si l'on attribuait une plus grande valeur au volume u qui sert, pour ainsi dire, à puiser la chaleur de l'un des corps pour la porter à l'autre, la transmission serait plus prompte; il faudrait, pour exprimer cette condition augmenter dans la même raison la valeur de K qui entre dans les équations. On pourrait aussi conserver la valeur de w et supposer que cette tranche accomplit dans un temps donné un plus grand nombre d'oscillations, ce qui serait encore indiqué par une plus grande valeur de K. Ainsi ce coefficient représente en quelque sorte la vitesse de la transmission, ou la facilité avec laquelle la chaleur passe de l'un des corps dans l'autre, c'est-à-dire leur conducibilité réciproque.

En ajoutant les deux équations précédentes , on a da + dp = o, et si l'on retranche l'une des équations de

l'autre, on a d* — d$ + a(a — p) — dt = o, et, faisant m — p =y, dy + i-y dt=o. Intégrant et déterminant

la constante par la condition que la valeur initiale soit

a — b,<m&y=z(a — b) e * m . La différence y des tem-

pératures diminue donc comme l'ordonnée d'une logarithmique, ou comme les puissances successives de la frack

tion c *». On a pour les valeurs de a et p

On suppose, dans le cas qui précède, que la masse infiniment petite o» , au moyen de laquelle s'opère la transmission, est toujours la même partie de l'unité de masse, ou, ce qui est la même chose , que le coefficient K qui mesure la conducibilité réciproque est une quantité constante. Pour rendre la recherche dont il s'agit plus générale, il faudrait considérer le coëfficient K comme une fonction de deux températures actuelles a et p. On aurait alors les deux

équations d* = — (a — p) - d t, et d§ = (« — p) -dt,

dans lesquelles K serait égal à la fonction de « et p , que nous désignons par ? (a, p ). Il sera facile de connaître la loi que suivent les températures variables <x et p lorsqu'elles approchent extrêmement de leur dernier état. Soit y une nouvelle indéterminée égale à la différence entre a et la dernière valeur qui est \ ( a b ) ou c. Soit z une seconde indéterminée égale à la différence c — p. On substituera au lieu de a, et p leurs valeurs c — y et c — z; et, comme il s'agit de trouver les valeurs de y et de z, lorsqu'on les suppose très- petites, on ne doit retenir dans les résultats des substitutions que la première puissance de y et de z. On trouvera donc les deux équations