CHAPITRE III. a

=—(-—>') (c— z)</f et — z =* (z— j) ? (c—j, c—

en développant les quantités qui sont sons le signe 9 et omettant les puissances supérieures de y et de z. On trou*

vera dy=(z — y) ^ <p.</£ et dz = — [z — y) - çJt. La quan-

tité 9 étant constante , il s'ensuit que les équations précédentes donneront pour la valeur de la différence z — yy un résultat semblable à celui que l'on a trouvé plus haut pour la valeur de « — p.

On en conclut que si le coefficient K , que l'on avait d'abord supposé constant , était représenté par une fonction quelconque des températures variables, les derniers changements qu'éprouvent ces températures , pendant un temps infini , seraient encore assujéties à la même loi que si la conducibilité réciproque était constante. Il s'agit actuellement de déterminer les lois de la propagation de la chaleur dans un nombre indéfini de masses égales qui ont actuellement des températures différentes.

On suppose que des masses prismatiques en nombre n, et dont chacune est égale à m, sont rangées sur une même ligne droite, et affectées de températures différentes a, b, c, d, etc. ; que des tranches infiniment petites qui ont chacune la masse w se séparent de ces différents corps excepté du dernier, et se portent en même temps du premier au second , du second au troisième, du troisième au quatrième, ainsi de suite; qu'aussitôt après le contact ces mêmes tranches retournent aux masses dont elles s'étaient séparées ; ce double mouvement ayant lieu autant de fois qu'il y a d'instants infiniment

petits dt; on demande à quelle loi sont assujétis les changements de température.

Soient a, p, y, û les valeurs variables qui correspondent au même temps t, et qui ont succédé aux valeurs initiales af b, c, d, etc. Lorsque les tranches w se seront séparées des n — i premières masses , et mises en contact avec les masses voisines, il est aisé de voir que les températures seront devenues

a (m — ft>) fa>)+q<a y(m~-(A)+ ptj & (m — <o)4-yta ûm + tytè

m — tù 1 m ' 1 m m "" m + tt

ou«,p+(«-~rt£,Y + (P--y)^^+(T--*)^« + ('rt--«)^

Lorsque les tranches » seront revenues à leurs premières places , on trouvera les valeurs des nouvelles températures en suivant la même règle qui consiste à diviser la somme des quantités de chaleur par la somme des masses, et l'on aura pour les valeurs de a, y, $, etc. après l'instant dt

le coefficient de - est la différence de deux, différences con-

sécutives prises dans la suite a, 0,y... ». Quant au premier

et au dernier coefficient de — ils peuvent être considérés

aussi comme des différences du second ordre. II suffit de supposer que le terme « est précédé d'un terme égal à a, et que le terme « est suivi d'un terme égal à û. On aura donc,