CHAPITRE IV. a
— i-<sin. V«
\ sin. iï J /sin. iu" — sin. u" \ — 2 — / sin. Vu"
+ k — ^ — ; € m ~* etc-
^=^(aH-^4-c + etc.) + a/sin-3"-sinu>-a^^v"
sin. -xu' — sin.u'\ —a- /sin. Vu'
, sin. 3u — sin.au' — 2— Zsin. Vu"
sin. u
sin. 3 a* — sin. 3 a" k „
„ : - — a — /sin. W
sin. u" e m + etc.
1 / . l , „ . \ . „ «n.*«— sin.n — i.« — a- Min. Y «
n v 7 sin. u
, , sin. nu' — sin. « — i.w' — a— /sin. Vu'
+ Vg : ; e m
1 sin. u
sin. nu" — sin.n— i:u" — a - /sin. V u" + C' slnT^ € m +etc-
Pour déterminer les constantes ax b,cgdt. . . etc. , il faut considérer l'état initial du système. En effet, lorsque le temps est nul les valeurs de a, p, y, $. . . etc., doivent être égales à a, b, c, d etc. ; on aura donc n équations semblables pour déterminer les n constantes. Les quantités
sin. u — sin. ou, sin. 2K — sin. m, sin. Zu — sin. au, . . .
sin. nu — sin. n — i.u,
peuvent être indiquées de cette manière,
A sin.o u, A sin. h, Asin. 211, Asin. 3w, Asin i\u... A sm. n — 1 u;
les équations propres à déterminer les constantes sont, eu représentant par c la température moyenne initiale,
a = c-\-cil~\-bl-\rCl + etc.
Asin. u 7 Asin.f<' Asin.u"
b =c+ a< lîn^r + b> -^nr+ c- inr^-+etc-
Asin. iu j Asin. 2//' A sin. 2 u"
c = c + ax — : h b, — : — + c, — : — 4- etc.
*- 1 sm. u sin.u sin. u
a sin. 3 m f Asin.3f«' Asin. 3«"
d=zc -f- at — ^ h bt —. ; — h c. — = h etc.
1 sin. a sm.i* sin. m
etc.
Les quantités axhxcxdx et c étant déterminées par ces équations , on connaît entièrement les valeurs des variables
On peut effectuer en général l'élimination des inconnues dans ces équations, et déterminer les valeurs des quantités a,bxcxdx etc., même lorsque le nombre des équations est infini ; on emploiera ce procédé d'élimination dans les articles suivants: •
En examinant les équations qui donnent les valeurs générales des variables a, p, y... u, on voit que le temps venant à augmenter les termes qui se succèdent dans la valeur de chaque variable décroissent très-inégalement : car les valeurs de u, u'f u, u", etc. étant
'•«> a-«' J'«> 4.-, etc.,
CHAPITRE IV. 207 les exposants sin. V u , sin. V «', sin. V sin. V m", etc. deviennent de plus en plus grands. Si l'on suppose que le temps t est infini , le premier terme de chaque valeur subsiste seul , et la température de chacune des masses devient égale à la
température moyenne - (a + b + c + . . . etc.). Lorsque le
temps t augmente continuellement chacun des termes de la valeur d'une des variables, diminue proportionnellement aux puissances -successives d'une fraction qui est, pour le
second terme e ~~ 2«« sin Vw, pour le troisième terme
e am8in'VM, ainsi de suite. La plus grande de ces fractions étant celle qui répond à la moindre des valeurs de u, il s'ensuit que , pour connaître la loi que suivent les derniers changements de température, on ne doit considérer que les deux premiers termes : car tous les autres deviennent incomparablement plus petits à mesure que le temps t augmente. Les dernières variations de température a , p, y, $ , etc., sont donc exprimées par les équations suivantes:
—a — / sin. V.u
i . . , N /sin. u — sin.o.uN — a — a==-(a+b + c+df etc.) + a,{ ^ y m
i, , / \ /sin. a a — sin. u\ — a — $—-(a+b + c+d, etc.) + a,( )e «•
n \ sin. u /
\, i j s /sin. 3m — sin. a«\
— a~ / sin. V.u
sin. 3m — sin. au\ — a— l sin. V.u e m
etc.
Si l'on divise la demi-circonférence- en un nombre n de parties égales, et qu'ayant abaissé les sinus, on prenne les
différences entre deux sinus consécutifs ; ces n différences
— a- /sin V«
seront proportionnelles aux coefficients de e a™ s,n' "ou aux seconds termes des valeurs de «, p,y... «. C'est pourquoi les dernières valeurs de a,|3,y. . . w sont telles que les différences entre ces températures finales et la température
moyenne initiale ^(a + b -+- c + etc. ) sont toujours proportionnelles aux différences des sinus consécutifs. De quelque manière que les masses aient d'abord été échauffées , la distribution de la chaleur s'opère à la fin suivant une loi constante. Si l'on mesurait les températures dans les derniers instants, où elles différent peu de la température moyenne, on observerait que la différence entre la température d'une masse quelconque et cette température moyenne, décroit continuellement comme les puissances successives de la même fraction; et, en comparant entre elles les températures des différentes masses prises pour un même instant, on verrait que ces différences entre les températures actuelles et la température moyenne, sont proportionnelles aux différences des sinus consécutifs, la demi-circonférence étant divisée en un nombre n de parties égales.
Si l'on suppose que les masses qui se communiquent la chaleur sont en nombre infini , on trouve pour l'arc u une valeur infiniment petite; alors les différences des sinus consécutifs, prises dans le cercle, 6ont proportionnelles aux
i , sin. m u — sin. m — i.u cosinus des arcs correspondants : car :
* sin. u
équivaut à cos. mu, lorsque l'arc u est infiniment petit
