CHAPITRE IV. a

Dans ce cas , les quantités dont les températures prises au même instant, différent de la température moyenne à laquelle elles doivent toutes parvenir, sont proportionnelles aux cosinus qui correspondent aux différents points de la circonférence divisée en une infinité de parties égales. Si les masses qui se transmettent la chaleur sont situées à distances égales les unes des autres sur le périmètre de la demi-circonférence it, le cosinus de l'arc à l'extrémité duquel une masse quelconque est placée , est la mesure de la quantité dont la température de cette masse diffère encore de la température moyenne. Ainsi le corps placé au milieu de tous les autres est celui qui parvient le plus promptement à cette température moyenne; ceux qui se trouvent situés d'un même côté du milieu ont tous une température excédente, et qui surpasse d'autant plus la température moyenne, qu'ils sont plus éloignés du milieu ; les corps qui sont placés de l'autre côté , ont tous une température moindre que la température moyenne, et ils s'en écartent autant que ceux du côté opposé, mais dans un sens contraire. Enfin ces différences , soit positives , soit négatives , décroissent toutes en même temps, et proportionnellement aux puissances successives de la même fraction ; en sorte qu'elles ne cessent pas d'être représentées au même instant par les valeurs des cosinus d'une même demi - circonférence. Telle est en général, et si l'on en excepte les cas singuliers, la loi à laquelle sont assujéties les dernières températures. L'état initial du système ne change point ces résultats. Nous allons présentement traiter une troisième question du même genre que les précédentes, et dont la solution nous fournira plusieurs remarques utiles.

3oo THÉORIE DE LA CHALEUR.

On suppose un nombre n de masses prismatiques égales, placées à des distances égales sur la circonférence d'un cercle. Tous ces corps qui jouissent d'une conducibilité parfaite, ont actuellement des températures connues, différentes pour chacun d'eux ; ils ne laissent échapper à leur surface aucune partie de la chaleur qu'ils contiennent ; une tranche infiniment mince se sépare de la première masse pour se réunir à la seconde, qui est placée vers la droite; dans le même temps une tranche parelèle se sépare de la seconde masse en se portant de gauche à droite, et se joint à la troisième ; il en est de même de toutes les autres masses , de chacune desquelles une tranche infiniment mince se sépare au même instant, et se joint à la masse suivante. Enfin, les * mêmes tranches reviennent immédiatement après, et se réunissent aux corps dont elles avaient été détachées. On suppose que la chaleur se propage entre les masses au moyen de ces mouvements alternatifs , qui s'accomplissent deux fois pendant chaque instant d'une égale durée ; il s'agit de trouver suivant quelle loi les températures varient, c'est-à-dire que, les valeurs initiales des températures étant données, il faut connaître après un temps quelconque la nouvelle température de chacune des masses.

On désignera par 0,0,0,. . . 0, . . . 0. les températures initiales dont les valeurs sont arbitraires , et par a, a, a,.... «,...«. les valeurs de ces mêmes températures après le temps écoulé t. Il est visible que chacune des quantités a est une fonction du temps t et de toutes les valeurs initiales 0, 0, 0, . . . 0. : ce sont ces fonctions qu'il s'agit de déterminer.