CHAPITRE IV. 3o

qui appartient à tous les cas possibles , et représente les dernières variations des températures. On voit par cette

solution que, si les températures initiales a, a, a, an

étaient proportionnelles aux sinus

sin.0.2-, sin. i .a-, sin. 2.2- sin.»-^ 1.2- ,

elles demeureraient continuellement proportionnelles à ces mêmes sinus, et J'on aurait les équations

« — a* — ht et h = 2^sin.V.a? — ht

— ht »■

ai=ase

—ht

«„=aae

C'est pourquoi si les masses qui sont placées à distances égales sur la circonférence du cercle, avaient des températures initiales proportionnelles aux perpendiculaires abaissées sur le diamètre qui passe par lé premier point; les températures varieraient avec le temps en demeurant proportionnelles à ces perpendiculaires , et ces températures1 diminueraient toutés à-la-fois comme lés termes d'une même progression géométrique dont la raison est la fraction

— 2 — sin. V. 2 - .

Pour former la Solution générale , on remarquera en premier lieu que 'fon pourrait prendre pour b,, b,, . . b, les n cosinus correspondants aux points de division de la

3o6 THÉORIE DE LA CHALEUR,

circonférence partagée en un nombre n de parties égales. Ces quantités cos. ou , cos. i u , cos. 2 u.. . cos. n — 1 u dans lesquelles u désigne l'art. 2 - forment aussi une série récurrente dont l'échelle de relation a les deux termes 2 cos. u et — 1, c'est pourquoi l'on pourrait prendre pour satisfaire aux équations différentielles, les équations suivantes:

— a - f sin. V.u a,=COS. O.Ue m

— a - t sin. V.u «1=cos. 1 .ue ">

— a-f sin. V.« «3 = cos. zic.e m

— a-fsin. V.«

a,=cos. n — 1 u.e m

Indépendamment des deux solutions précédentes , on pourrait choisir pour les valeurs de b, bx bJ....b„les quantités

sin.o.2u, sin. 1.2 sin. 2.2a, sin. 3. au... sin. n — i.au ou celles-ci ,

C0S.0.2K, COS. 1.2 C0S.2.2I*, COS. 3 .2 U... CQS, Th I.2H.

En effet, chacune de ces séries est récurrente et formée de n termes; l'échelle de relation a les deux termes 2 cos. 214 et — 1 ; et, si l'on continuait la série au-delà de n termes, on en trouverait n autres, qui seraient. respectivement égaux aux n précédants. En général, si l'on désigne par u, k, uy ..1*.... u.

les arcs 0.2*, 1. 2^,3. ^p,...(n-T-i)-~ etc.^ on pourra

CHAPITRE IV. 307 prendre pour les Valeurs de bx b% bB . . . èm les n quantités

sin.o.w,, sin. \.uit sm.2U„ sin. 3 . a , • . . . sin. n — i . u,

ou celles -ci,

cos. o . w, , cos. t . u, t cos. a , cos. 3 . cos. /i — i . a, la valeur de A correspondante à chacune de ces séries est

donnée par l'équation h = — 2 — sin. V . u, .

On peut donner à t n valeurs différentes, dépuis i== i jusqu'à i=n. En substituant ces valeurs çle b,btbs. . . b, dans les équations de l'art. 261 ;on aura , pour satisfaire aux équations différentielles de l'art. 260, les résultats suivants :

«,=sin. o.H, £ "» ■ ou <x,=±scos. o.u, e m

— a /tin. V. a, ^a — f tin. V. «

«, = sin. I .U, e «,a=JCOS. I .U, e m

«,=sin. 2.«, e

— a-ftin. V.a ' — 2 - / tih. \.u

m ' «, = COS. 2 . W, e m

. « — a - / tin. V . » — — a - / sin. V. «,

*„=sm.« — « ' à.=ooi»«— 1 .u,e «

n 2^4- ;I ) •.«; -u ' * On satisferait également aux équations de l'art. 260 en composant les valeurs de chacune des variables a,«,as. . . a. de la somme de plusieurs valeurs particulières que Ton aurait trouvées pour cette gtnème vapiable^ et Ton peut aussi multiplier par d^s coefficients constants quelconques , chacun des termes qui entrent dans la Valtur générale d une des va-

riables, 11 suit de là qu'en désignant par A,B, A,B, A3B,... A.B. des coefficients quelconques , on pourra prendre , pour exprimer la valeur générale d'une des variables, par exemple, de am+, l'équation

« , =(A,sin./ww, + B,cos. mu,) e m

n \ — 2 — /.siij. V.a,

-+- (AjSin.mi^-l-BjCOS.mwj e »«

/ » • . t> \ — a- f.sin. V.«.

. . . -H (A.sin.mw. + B.cos.mw,) e m

Les quantités A, A, A,. . . A., B.B.Bj B. qui entrent dans

cette équation , sont arbitraires , et les arcs ututu3 u.

sont donnés par les équations

air an 21c 21c

ul = o. — , ut= 1 . — , «3 = 2. — u%—n — 1 . —

f% ft ft /I

Les valeurs des variables générales a, «,«*.. . a» sont donc exprimées par les équations suivantes :

«, = (A,sin. O.M.-+- B.cos. o.w.) e m

-+- (A,sin; o.i^ + B.cos. o.u,) e m

+ (A3sin. 0.U3 + B3COS. o.Ui)e m 4- etc.

«î = (A,sin. i.M,4-B,cos.

+ (A,sm. r.w,-i-B3cos. i.ut)e »»

/»• r> \ — 2— t sm. V . Il,

+ i.m,+ BjCOS. i.Hi)e « '-netc.