etc

4 B.cos.rc — 1 .0. ~4- B,cos,n — 1 . 1 . — -1- B}sin.n — 1

n n (m) -f- etc.

Dans ces équations, dont le nombre est /», les quantités inconnues sont A, B, A, B, A, B3 . . . etc. , il s'agit d'effectuer les éliminations et de trouver les valeurs de ces indéterminées. On remarquera d'abord que la même indéterminée a un multiplicateur différent dans chaque équation , et que la suite de ces multiplicateurs compose une série récurrente. En effet, cette suite est celle des sinus croissants en progression arithmétique, ou celle des cosinus des mêmes arcs; elle peut être représentée par

3i4 THÉORIE DE LA CHALEUR.

sin. ou... sin. iu...sin. a«... sin. 3 m... sin. n — -r.w.

ou par cos. ou...cos. i«...cos. au...cos. 3w...cos. n — i.u.

L'arc u est égal à i s* l'indéterminée dont il s'agit

est A/+i ou B. + \ Cela posé pour déterminer l'inconnue A y au moyen des équations précédentes, il faut comparer à la suite des équâtions la série des multiplicateurs sin. ou...

sin. i u... sin. 2 «... sin. 3 «... sin. n — i.u, et multiplier chaque équation par le terme correspondant de la série. Si l'on prend la somme des équations ainsi multipliées , on éliminera toutes les inconnues, excepté celle qu'il s'agit de déterminer. Il en sera de même si l'on veut trouver la valeur de B . ^ ; il faudra multiplier chaque équation par le multiplicateur de B/+ t dans cette même équation , et prendre

ensuite la somme de toutes les équations. Il s'agit de démontrer qu'en opérant de cette manière, on fera disparaître en effet des équations toutes les inconnues , excepté une seule. Pour cela il suffit de faire voir i°que si l'on multiplie terme à terme les deux suites,

sin.o.zi, sin. i.u, sin.a.tt, sin. 3.M, sin. l\.u. . . sin. rt — i.u

sin. o.v, sin. i.v, sin. 2.1;, sin. 3.1/ , sin. ^.v... sin./* — i.v

la somme des produits

6in.o«sin.oi»H- sin. i.w.sin. 1. v + sin. a w. sin. au 4- etc.

sera nulle , excepté lorsque les arcs u et i>, seront les mêmes, chacun de ces arcs étant d'ailleurs supposé un multiple d'une