CHAPITRE IV. 3i
partie de la circonférence, égale a ^ ; 2° que si l'on multiplie terme à terme les deux séries,
cos. ou, cos. lu, cos. 2u, cos. 3m, cos. 4«> cos. 5 h... etc. cos. ovt cos. 11/, cos. 21/, cos. 3v, cos. cos. 5u... etc.
la somme des produits sera nulle , excepté le cas où u est égal à v; 3° que si Ton multiplie terme à terme les deux suites ,
sin. ou, sin. i u, sin. 2«, sin. 3u, sin. 4"--- etc. cos. ou, cos. in, cos. ai/, cos. 3i>, cos. 4^. .. etc.
la somme des produits sera toujours nulle.
On désignera par q lare ^,par p.q l'arc u, et par v q
l'arc v, ^ et v étant des nombres entiers positifs moindres que n. Le produit de deux termes correspondants des deux premières séries sera représenté par
sin. y pq . sin. j\q ou £ cos. y f* — — £ cos. y p. + v ç
la lettre y désignant un terme quelconque de la suite , o . . - . 1 . . . 2. . . 2. . . 3. . . «... n — 1 ; or il est facile de prouver que si l'on donne à y ses n valeurs successives , depuis o jusqu'à n — 1 , la somme
~COS.OjA v£+ ^COS. v^-f-^COS.2{fc —
-l- *- cos. 3 |a — >»q + ...-*• ^cos.(/i— 1 .p. — v.<7)
3iG THÉORIE DE LA CHALEUR.
aura une valeur nulle, et qu'il en sera de même de la suite,
^COS. 0(Ji + v^-f- ^COS. I .(t -4-v<7 + -COS.O(i4-v^
-I- ~ COS. 3 (A -I- v q . . . + ^ COS. (/I — I.(*+v.^j-
En effet, en représentant l'arc jt — v.f par a, qui est par conséquent un multiple de on aura la suite récurrente
cos. oa, cos. la, cos. 2a... cos. n — ia, dont la somme est nulle. Pour le faire voir , on représentera cette somme par s, et les deux tenues de l échelle de relation étant 2 cos. a et — 1 , on multipliera successivement les deux membres de l'équation
5 = COS. Oa-f-COS. 2o + COS. 3 a. . . 4- COS. n — la
par — 2 cos. a et par + i , puis ajoutant les trois équations, on connaîtra que les termes intermédiaires se détruisent d'eux-mêmes d'après la nature de la série récurrente.
Si l'on remarque maintenant que /la étant un multiple
de la circonférence entière, les quantités cos. n — i a
cos. n — 2a. . . cos. n — 3a. . . etc. sont respectivement les mêmes que celles que l'on désignerait par cos. ( — a)... cos. ( — 2 a)... cos. ( — 3 a)... on en conclura 2 s — 2scos.a=o; ainsi la somme cherchée s doit en général être nulle. On trouvera de même que la somme des termes dus au développement de ~ cos. {jîy+~vq) est nulle. 11 faut excepter
le cas ou l'arc représenté par a serait nul , on aurait alors î — cos. a = 1 ; cest-à-dire, que les arcs u et v seraient les
