CHAPITRE IV. 3i

mêmes. Dans ce cas, le terme ^ cos.yjA+v q donne encore un développement dont la somme est nulle : mais la quantité ^ cos. y p. — v q fournit des termes égaux dont chacun a pour valeur ^; donc la somme des produits terme à terme des deux premières séries est ^ n.

On trouvera de la même manière la valeur de la somme des produits terme à terme des deux secondes séries, ou 2 (cos. y (t^.cos./v^); en effet, on substituera à

cos./ix^.cos.y <*q la quantité^ cos. y p. — v . q ^ cos.yp +vq

et l'on en conclura comme dans le cas précédent, que

2 *- cos. y> + v q

est nulle, est que 2 ^ cos. y p. — est nulle, excepté le cas

ou jx=v. Il suit de là que la somme des produits terme à terme des deux secondes séries ou 2 cos. y p. q .cos. y »q est toujours nulle , lorsque les arcs u et v sont différents , et

égale à - n lorsque u-=- v. Il ne faut plus que distinguer les

cas ou les arcs pq et *q sont tous les deux nuls, alors on a o pour la valeur de 2 (sin.y p. y. sin.y vy), qui désigne la somme des deux produits terme à terme des deux premières séries. 11 n'en est pas de même de la somme 2 (cos.y p. y.cos y v q ), prise dans le cas ou pq et vq sont nuls; cette somme des produits terme à terme des deux secondes séries est évidemment égale à n. Quant à la somme des produits terme à terme des deux séries

3i8 THÉORIE DE LA CHALEUR.

sin. ou, sin. u, sin. aw, sin. 3 m, sin. l\u. . . sin. « — i .u

COS. O , COS. COS. 2W, cos. 3m, cos.4«... cos. n — i.u

elle est nulle, dans tous les cas, ce qu'il est facile de reconnaître par l'analyse précédente.,

La comparaison de ces séries fournit donc les conséquences suivantes. Si Ton partage la circonférence 2r,èn un nombre n de parties égales , que l'on prenne un arc u composé d'un nombre entier p. de ces parties, et que Ton marque

les extrémités des arcs u , 2 u , 3 u , l\u. . . n — 1 u , il résulte des propriétés connues des quantités trigonométriques que les quantités

sin. ou, sin. u, sin. zu, sin. 3m... sin. n — i.u,

ou celles-ci, cos. ou, cos. im,cos. iu, cos. 3f*...cos. n — lu forment une série récurrente périodique, composée de n termes; si l'on compare une de ces deux séries correspondantes à un arc u ou * — à une série correspondante à un autre arevouv." et qu'on multiplie terme à terme les deux

deux séries comparées; la somme des produits sera nulle lorsque les arcs u et v seront différents. Si les arcs u et v

sont égaux, la somme des produits est égale à lorsque

Von compare deux séries de sinus , ou lorsque Ton compare deux séries de cosinus; mais cette somme est nulle, si l'on compare une série de sinus à une série de cosinus. Si l'on suppose nuls les arcs u et v , il est manifeste que la somme