CHAPITRE IV. 3i

des produits terme a terme est nulle, toutes les fois que Tune des deux séries est formée de si nus, .et lorsqu'elles le sont toutes les deux , mais la somme des produits est n , si les deux séries composées sont formées de cosinus. En général , la somme des produits terme à terme est égale à o ou

|nou n; au reste, les formules connues conduiraient directement aux mêmes résultats. On les présente ici comme des conséquences évidentes des théorèmes élémentaires de la trigonométrie.

Il est aisé d'effectuer au moyen de ces remarques 1 élimination des inconnues dans les équations précédentes. L'indéterminée A, disparaît d'elle-même comme ayant des coefficients nuls ; pour trouver B, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de B, dans cette même équation , et l'on ajoutera toutes les équations ainsi multipliées , on trouvera fl, + fl1 + fl}+.... am = B,.

Pour déterminer A, on multipliera les deux membres de chaque équation par le coefficient de A, dans cette équation

et en désignant l'arc ^ par q , on aura , après avoir ajouté

les équations

ax sin. o.q^-at sin. 1 . q+as sin. 2.q + ... a, sin. n — 1 .q= - n. A,.

On aura pareillement pour déterminer B,

at cos. o q-t- at cos. i^-n^cos. ,3^-+-... amco*.n — i,y=î »B,.

En général , on trouvera chaque indéterminée en multipliant les deux membres de chaque équation par le coëffi-

3so THÉORIE DE LA CHALEUR.

cient de l'indéterminée dans cette même équation, et en ajoutant les produits. On parvient ainsi aux résultats suivants :

rtB,=rt, +a, +a> + ete. =Sa,

/iA,=<7,sin. o. ha.sin. i. »-a,sin. 2. hetc. =S«,sin. (î — 1

i»B,=0,cos. o. — + tf,cos. 1.— +fljCOS. 2.— 4-etc. =Sa,cos.(t— 1 .

n At=a, sin. 0.3. — -+ a, sin. 1.2. — - -+- <z,sin. 2.2. hetc. =S<z,cos.(ï — .

nBi=a,cos.o3. — -f-^cos. I.3.— 4- a, cos. 2.3. — H-etc. =Sfl,cos.(i—

/l ft

nki=a, sin. o.3. — -+- a, sin. i.3. — -4- <73 sin. 2.3. — +etc. =Sa,sin. (i— «B4=rt,cos. o.3.— -t-tfacos. I.3.— tfjcos.2.3. — +etc. =S<z,<cos.(<—

+ etc.

Il faut, pour trouver le développement indiqué par le signe S, donner à « ses n valeurs successives 1... 2... 3... 4- etc. et prendre la somme , on aura en général

i n Ay == S a, sin. — 1 ,j — 1 . et *- /iB;=S a, cos. Ç i — 1 .y — 1.^)

Si Ton donne au nombre entier j toutes les valeurs successives 1... 2... 3... 4— etc. qu'il peut avoir, ces deux formules fourniront les équations, et si l'on développe le terme sous le signe S, en donnant à / ses n valeurs 1... 2... 3... 4— etc. on aura les valeurs des inconnues A, B, A, B, A, B, A4 B4... etc., et les équations (m) art. 267 seront entièrement résolues.