CHAPITRE IV. 3a

qui entrent dans cette équation , il doit y en avoir autant que l'on trouve de sinus verses différents, lorsque la suite

des ares est o — . . . i ~. . . 3— etc. , c'est-à-dire, que le

nombre n étant égal à 2X4- i ou à a> selon qu'il est impair ou pair, le nombre des termes qui entrent dans l'équation générale est toujours X + i .

Pour donner un exemple de l'application de cette formule, nous supposerons que la première masse est la seule que l'on ait d'abord échauffée, en sorte que les températures initiales a,. . . ax. . . a$ a. soient toutes nulles, excepté la

première, il est visible que la quantité de chaleur contenue dans la première masse se distribuera successivement entre toutes les autres- Or , la loi de cette communication de la chaleur sera exprimée par l'équation suivante :

1 2 -s air — a-fsin.V.i. —

«, = -a, + -a, cos./ — 1 — e m n ' n n J n

21c — 2 /«in.V.2. —

+ -at cos./ — ta. — e m

2 ,n — 2*fsin.V.3.*-ï t '

-H-a,cos./ — i.ô — e m „4 etc.

Si la seconde masse était seule échauffée et que les températures at. . fl3. . . at. . . a, fussent nulles, on aurait

2 / . 21c 2 7T -: 21c 2ir\ — 2— fsin.V. 1

a, -4- -a, ( sin. ; — 1 — . sin. 1- cos./ — 1 — . cos. — je m

/ . 21c . 2ir ai: 2X\ — 2 — /sin. V.

,(sin./ — 1.2. — sin.a. hcos.7 — 1.2.— .cos. a. — )e m

et si l'on supposait que toutes les températures initiales lussent nulles , excepté a, et a, , on trouverait pour la valeur de a, la somme des valeurs trouvées dans chacune des 1 deux hypothèses précédentes. En général , il est facile de conclure de l'équation générale (e) art. 273 que pour trouver la loi suivant laquelle les quantités initiales de chaleur se répartissent entre les masses, on peut considérer séparément les cas ou les températures initiales seraient nulles, excepté une seule. On supposera que la quantité de chaleur contenue dans une des masses se communique à toutes les autres, en regardant ces dernières comme affectées de températures nulles, et ayant fait cette hypothèse pour chacune des masses en particulier à raison de la chaleur initiale qu elle a reçue , on connaîtra quelle est, après un temps donné, la température de chacun des corps en ajoutant toutes les températures que ce même corps a dû recevoir dans chacune des hypothèses précédentes.

Si dans 1* équation générale (e) qui donne la valeur de on suppose que le temps a une valeur infinie, on trouvera

Uj = ^ S a,, en sorte que chacune des masses aura acquis

la température moyenne; résultat qui est évident par luimême.

A mesure que la valeur du temps augmente , le premier

terme ~ S {a,) devient de plus en plus grand par rapport

au suivant, ou à la somme des suivants. Il en est de même du second par rapport aux termes qui le suivent; et, lorsque le temps a acquis une valeur considérable, la valeur de

CHAPITRE IV. f 3a5 «, est représentée sans erreur sensible par l'équation suivante:

i o a / . ai: « • a ir

t.=-S^ + - sm.; — i— .Stf.sin.* — i — 1 n n \ J h n

-t-cos.y I.— Sa, COS. « — i.-Je m

— a — fsin. V. —

En désignant par a et £ les coefficients de sin. (y — 1

et de cos. f j — i ™\et la fraction e 2»' s,n" « paru on

aura a.= - Sa, 4- ( asin.i — i h bcos.j — i — ) a»'. Les

quantités a et b sont constantes, c'est-à-dire, indépendantes du temps et de la lettre j qui indique le rang de la masse dont la température variable est Ces quantités sont les mêmes pour toutes les masses. La différence de la température variable «y à la température finale - S a, décroît donc

pour chacune des masses, propprtionnellement aux puissances successives de la fraction w. Chacun des .corps tend

de plus en plus à acquérir la température finale i S («, ), et

la différence entre cette dernière limite et la température variable du même corps finit toujours par décroître comme les puissances successives d'une fraction. Cette fraction est la même , quel que soit le corps dont on considère les changements de température, le coefficient' de w' ou a sin.

&cos. u,,. en désignant par u, l'arc. (y — i) 27r peut être mis

sous cette forme A sin. (1/,-t-B) en prenant A et B, tels que J'on ait a=A cos.B et b i= A sin. B. Si l'on voulait déterminer le coefficient de *>' qui se rapporte aux corps «ni-

3a6 THÉORIE DE LA CHALEUR.

vants : dont la température est a . , ... a . , ...«.,,... Il

faudrait ajouter à ut Tare — ou 2.-, ainsi de suite ; c est-àdire, que l'on a les équations

a. — -Stf,= A.sin.(B4-K,)«'+ etc.

a. , — -Sa, = A.sin. (B+u,+ i .— ^) <■>' + etc.

«. — -S«,=A.sin. ( B + u. -+- a.— ) »'

etc.

«y + g — ^ S « , = A . sin. ^ B + m j + 3 . ^ ) «' -t- etc.

etc. >

On voit , par ces équations , que les dernières différences entre les températures actuelles et les températures finales, sont représentées par les équations précédentes , en ne conservant que le premier terme du second membre de chaque équation. Ces dernières différences varient donc selon la loi suivante : si l'on ne considère qu'un seul corps, la différence variable dont il s'agit , c'est-à-dire , l'excès de la température actuelle du corps sur la température finale et commune, diminue comme les puissances successives d'une fraction, le temps augmentant par parties égales ; et, si l'on compare pour un même instant la température de tous les corps , la différence dont il s'agit varie proportionnellement aux sinus successifs de la circonférence divisée en parties égales. La température d'un même corps , pris à divers instants successifs égaux , est représentée par les ordonnées d'une logarith-