CHAPITRE IV. 3a

on écrira au lieu de m, valeur de chaque masse infiniment petite, l'élément dx; %u lieu du nombre n des masses on

mettra ^ , au lieu de k on mettra g ~ ou

Quant aux températures initiales a,, a3, a„ «„, elles dépendent de la valeur de l'arc x, et, en considérant ces températures comme les états successifs d'une même variable, la valeur générale représente une fonction arbitraire de x.

L'indice i sera alors remplacé par A l'égard des quan-

tités a,, a,, «,, ces températures sont des variables qui dépendent des deux quantités x et t. En désignant par v cette variable on aura v=ç (x, t). L'indice y qui marque

la place que l'un des corps occupe sera remplacé par ^ •

Ainsi pour appliquer l'analyse précédente au cas où l'on aurait une infinité de tranches, formant un corps continu dont la forme serait celle d'une armille, il faudra substituer aux quantités n, m, k, at, i, «j, y celles qui leur correspondent, savoir : dx, j^>fx>j^.-> ? (x> t),^-On fera ces substitutions dans l'équation (e) art. 273 et l'on écrira ^ dx1 au lieu de sin. \ dx, et i et y au lieu de i — 1 et y — 1.

Le premier terme ^ S<i( devient la valeur de l'intégrale f x d x prise depuis x = o jusqu'à x — 2 * ; la quantité sin. (y — 0~~ devient sin. y dx ou sin. x; la valeur de

cos. (y — 1 ) ^ est cos. x; celle de ^ / (a, sin. (* — 1) ~ est Ijfx sin. x dx, l'intégrale étant prise depuis *=o jus-

33o THÉORIE DE LA CHALEUR,

qu'à x= a w , et celle de |S a, cos. (7 — i est

\f(fx cos- *

l'intégrale e'tant prise entre les mêmes limites, on obtient par ces substitutions l'équation

?(;r,£)==v^^S/x^x+^(sin.;rS/#sm.x^ gtt

+ - (sin.aorS/arsin. zxdx+cos. zxSfx côs. 2#d.z)<?~a 4- etc. I et représentant par K la quantité g*, on aura

x a; = i y/ar </ar + (sin. a*//* x.sm.xdx+ cos. # //* a: cos. xdx) é~**

+ (sin. tàxf fXsiû.2xdx+co&.nxJ' yxcos. axdx)e + etc.

Cette solution est la même que celle qui a été rapportée dans la section précédente, pag. 272; elle donne lieu à diverses remarques. i° Il ne serait pas nécessaire de recourir à l'analyse des équations aux différences partielles pour obtenir l'équation générale qui exprime le mouvement de la chaleur dans une armille. On pourrait résoudre la question pour un nombre déterminé de corps, et supposer ensuite ce nombre infini. Cette méthode de calcul a une clarté qui lui est propre, et qui dirige les premières recherches. Il est facile ensuite de passer à une méthode plus concise dont la marche se trouve naturellement indiquée. On voit d'abord