CHAPITRE III. 33i

que la distinction des valeurs particulières qui , satisfaisant à l'équation aux différences partielles, composent la valeur générale, dérive de la règle connue pour l'intégration des équations différentielles linéaires dont les coefficients sont constants. Cette distinction est d'ailleurs fondée , comme on l'a vu plus haut, sur les conditions physiques de la question; 2° Pour passer du cas des masses disjointes à celui d'un corps continu, nous avons supposé que le coefficient K augmentait proportionnellement au nombre n des masses. Ce changement continuel du nombre K est une suite de ce que nous avons démontré précédemment, savoir que la quantité de chaleur qui s'écoule entre deux tranches d'un même

prisme est proportionnelle à la valeur de .r désignant l'abscisse qui répond à la section , et v la température. Au reste si l'on ne supposait point que le coefficient K augmente proportionnellement au nombre des masses, et que l'on retînt une valeur constante pour ce coefficient; on trouverait, en faisant n infini, un résultat contraire à celui qu'on observe dans les corps continus. La diffusion de la chaleur serait infiniment lente, et de quelque manière que la masse eût été échauffée, la température d'un point ne subirait aucun changement sensible, pendant un temps déterminé, ce qui est opposé aux faits. Toutes les fois que l'ona recours à la considération d'un nombre infini de masses séparées qui se transmettent la chaleur, et que l'on veut passer au cas des corps continus ; il faut attribuer au coefficient K, qui mesure la vitesse de la transmission , une valeur proportionnelle au nombre des masses infiniment petites qui composent le corps donné.

33a THÉORIE DE LA CHALEUR.

3° Si dans la dernière équation que nous venons d'obtenir pour exprimer la valeur de v ou 9 (x, f), on suppose t = o ; il sera nécessaire que l'équation représente l'état initial , on aura donc par cette voie l'équation (p) que nous avons obtenue précédemment, pag. a56, savoir :

- + sin. xffx àn.xdjc + &\n. ffxsin. 2 xdx+eic. x/x=^l/xdx

J -h cos. x J'y xcoi. x d x -4- cos. 1 xff x cos. 1 x d x -\- etc.

Ainsi ce théorème qui donne, entre des limites assignées, le développement d'une fonction arbitraire en séries de sinus ou de cosinus d'arcs multiples se déduit des règles élémentaires du calcul. On trouve ici l'origine du procédé que nous avons employé pour faire disparaître par des intégrations successives tous les coefficients, excepté un seul dans l'équation

-t- <z , sin . x + <za sin. 2 x + <z} sin . 3 x + etc.

-+- b, cos.x -f- bt cos. 2X+ cos. 3 x+ etc.

ces intégrations correspondent aux éliminations des diverses inconnues dans les équations (m) p. 3i3 et 3ao, et l'on reconnaît clairement par cette comparaison des deux méthodes que l'équation (B) page 334, a lieu pour toutes les valeurs de x comprises entre o et a ir , sans que Ton soit fondé à l'appliquer aux valeurs de x qui excèdent ces limites.

La fonction 9 {x, t) qui satisfait à la question , et dont la valeur est déterminée par l'équation (E) pag. 33o peut être exprimée comme il suit