sin. 2 xsin. 2 a+ 2 cos. 2 x cos. 2 a) e~~ a

-f-(2sin.3a;sin.3aH-2cos.3a?cos.3a)c— 3 *' H- etc. )

=/da/a(l -f-Î^COS. t(a— 1

Le signe 2 affecte le nombre * et indique que la somme doit être prise de x= 1 à* = £. On peut aussi comprendre le premier terme 1 sous ce signe 2 , et l'on a

2 w<p a/a 2 COS. * (a — 0?) e

Il faut alors donner à i toutes ses valeurs en nombres entiers depuis — ^ jusqu'à + ^ ; c'est ce que l'on a indiqué

en écrivant les limites — 7 et + ~ auprès du signe 2, l'une de ces valeurs de i est o. Telle est l'expression la plus concise de la solution. Pour développer le second membre de l'équation, on supposera i=o et ensuite t=i ,2, 3,4, etc. et l'on doublera chaque résultat excepté le premier qui

répond à i— o. Lorsque t est nul il est nécessaire que la fonction 9 (x, t) représente l'état initial dans lequel les températures sont égales \fx t on aura donc l'équation identique

da/a"2 COS. i (at — x) (B)

On a joint aux signes f et 2 les indices des limites entre lesquelles l'intégrale et la somme doivent être prises. Ce théorème a lieu généralement quelle que soit la forme de la fonction fx dans l'intervalle de #=*o à x=2*; il est le même que celui qui est exprimé par les équations qui donnent le développement de Fx, page 260, et nous verrons dans la suite que l'on peut démontrer immédiatement la vérité de 1 équation (B), indépendamment des considérations précédentes.

Il est facile de reconnaître que la question n'admet aucune solution différente de celle que donne l'équation (E) pag. 33o. En effet la fonction 9 (x, t) satisfait entièrement à la question , et d'après la nature de l'équation différentielle ~ = k aucune autre fonction ne peut jouir de

cette même propriété. Pour s'en convaincre il faut considérer que le premier état du solide étant représenté par

une équation donnée vt=fxt la fluxion ^ est connue, puisqu elle équivaut à k^j—. Ainsi en désignant par o», ou

vt -+- A d t la température au commencement du second

instant, on déduira la valeur de i>, de l'état initial et de Téquation différentielle. On connaîtra donc de la même