CHAPITRE IV

manière les valeurs o>4 vs... u. de la température d'un point quelconque du solide au commencement de chaque instant. Or la fonction 9(0:, t) satisfait à l'état initial, puisque l'on a 9 {x, o) = f x. De plus elle satisfait aussi à l'équation différentielle ; par conséquent étant différentiel elle donnerait pour -jji^jji etc- les mêmes valeurs que celles

qui résulteraient de l'application successive de cette équation différentielle (a). Donc si dans la fonction 9 {x, t) on donne successivement à t les valeurs o, u , 2 w , 3 w , 4 « 1 etc. w désignant l'élément du temps ; on trouvera les mêmes valeurs vt v, Vj i>4, etc. que l'on aurait déduites de l'état initial et

de l'application continuelle de l'équation ^= k Donc

toute fonction ^ (x, t) qui satisfait à l'équation différentielle et à l'état initial se confond nécessairement avec la fonction y(x, t) : car ces fonctions donneront l'une et l'autre une même fonction de a?, si l'on y suppose successivement t == o, u, 2b), 3d>. . . . £<o, etc.

On voit par là qu'il ne peut y avoir qu'une seule solution de la question , et que si l'on découvre d'une manière quelconque une fonction (x, t) qui satisfasse à l'équation différentielle et à l'état initial, on est assuré qu'elle est la même que la précédente donnée par l'équation (E).

Cette même remarque s'applique à toutes les recherches qui ont pour objet le mouvement varié de la chaleur ; elle suit évidemment de la forme même de l'équation générale.

C'est par la même raison que l'intégrale de l'équation

^ = A : îp? ne peut contenir qu'une seule fonction arbitraire en x. En effet, lorsqu'une valeur de a» est donnée en fonc-

tion de x pour une certaine valeur du temps t, il est évident que toutes les autres valeurs de v qui correspondent à un temps quelconque sont déterminées. On peut donc choisir arbitrairement la fonction de x, qui correspond à un certain état, et la fonction de deux variables x et t se trouve alors déterminée. Il n'en est pas de même de l'équation

7P + Sy = °

que nous avons employée dans le chapitre précédent, et qui convient au mouvement constant de la chaleur; son intégrale contient deux fonctions arbitraires en x et y: mais on peut ramener cette recherche à celle du mouvement varié, en considérant l'état final et permanent comme dérivé de ceux qui le précèdent, et par conséquent de l'état initial qui est donné.

L'intégrale que nous avons donnée

a fa 2 e COS. i (« — X)

contient une fonction arbitraire /x, et elle a la même étendue que l'intégrale générale, qui ne contient aussi qu'une fonction arbitraire enx: ou plutôt elle est cette intégrale elle-même mise sous la forme qui convient à la question. En effet l'équation vt=fx représentant l'état initial, et v = 9 (x, t) , représentant l'état variable qui lui succède ; on voit que d'après la forme même du solide échauffé la valeur de v ne doit point changer lorsqu'on écrit, au lieu de xt .rdr/.aw, i étant un nombre entier positif quelconque. La fonction

■^j da/al e~l COS. i (a — x)