CHAPITRE IV

remplit cette condition; elle représente aussi l'état initial lorsqu'on suppose t = o; car on a alors

fx = -^ j da/<t2 COS. i (a — x)

équation qui a été démontrée précédemment, pages 260 et 333 et qu'il est d'ailleurs facile de vérifier. Enfin la même fonction satisfait à l'équation différentielle ~=K Ç^. Quelle

que soit la valeur du temps t, la température v est donnée par une série très-convergente, et les différents termes représentent tous les mouvements partiels qui se composent pour former le mouvement total. A. mesure que le temps augmente, les états partiels de l'ordre le plus élevé s'altèrent rapidement, et ne conservent aucune influence appréciable ; ensorte que le nombre des valeurs que l'on doit donner à l'exposant i diminue de plus en plus. Après un certain temps le système des températures est représenté sensiblement par les termes que l'on trouve en donnant à * les valeurs o , db 1 et =b 2 ou seulement o et =fc 1 , ou enfin par le premier de ces termes

qui est -^J d*f«'} il y a donc une relation manifeste entre

la forme de la solution et la marche du phénomène physique que l'on a soumis à l'analyse.

Pour parvenir à cette solution on a considéré d'abord les valeurs simples de la fonction v qui satisfont à l'équation différentielle; on a formé ensuite une valeur qui convient avec l'état initial , et qui a par conséquent toute la généralité que la question comporte. On pourrait suivre une marche différente et déduire la même solution d'une autre

expression de l'intégrale; car cette solution étant une fois connue , on en transforme aisément les résultats. Si Ton suppose que le diamètre dé la section moyenne de l'anneau devient de plus en plus grand à l'infini, la fonction 9 (x, t) reçoit, comme on le verra par la suite, une forme différente, et se confond avec l'intégrale qui contient une seule fonction arbitraire sous le signe d'intégrale définie. On pourrait aussi appliquer cette dernière intégrale à la question actuelle; mais, si l'on se bornait à cette application, on n'aurait qu'une connaissance très-imparfaite du phénomène : car les valeurs des températures ne seraient pas exprimées par des séries convergentes , et l'on ne distinguerait point les états qui se succèdent à mesure que le temps augmente. Il faudrait donc attribuer à la fonction qui représente l'état initial la forme périodique que la question suppose; mais, en modifiant ainsi cette intégrale, on n'aurait point d'autre résultat que celui-ci

9 (x, t) = ^ fd a/a COS. * (a — x) •

On passe aisément de cette dernière équation à l'intégrale dont il s'agit, comme nous l'avons prouvé dans le Mémoire qui a précédé cet ouvrage. Il n'est pas moins facile d'obtenir l'équation en partant de l'intégrale elle-même. Ces transformations rendent de plus en plus manifeste l'accord des résultats du calcul; mais elles n'ajoutent rien à la théorie, et ne constituent nullement une analyse différente.

On examinera dans un des chapitres suivants les différentes formes que peut recevoir l'intégrale de l'équation