CHAPITRE V. 34i

intégrer cette dernière équation, et l'on prendra ensuite

i> = On cherchera en premier lieu quelles sont les valeurs

les plus simples que l'on puisse attribuer à y, ensuite on en formera une valeur générale qui satisfera en même temps à l'équation différentielle, à celle de la surface et à l'état initial. Il sera facile de reconnaître que lorsque ces trois conditions sont remplies, la solution est complète, et que l'on ne pourrait en trouver aucune autre.

Soit y=e u, u étant une fonction de x, on aura

K~. On voit d'abord que la valeur de t devenant

infinie, celle de v doit être nulle dans tous les points; puisque le corps est entièrement refroidi. On ne peut donc prendre pour m qu'une quantité négative. Or K a une valeur numérique positive ; on en conclut que la valeur de il dépend des arcs de cercle, ce qui résulte de la nature

connue de l'équation m u = K Soit u = A cos. n x

-4- B sin. n x; on aura cette condition m = — K n\ Ainsi l'on peut exprimer une valeur particulière de v par l'équa-

tion v = e— - — (A cos. n x + B sin. nx) , n est un nombre

positif quelconque, et A et B sont des constantes. On remarquera d'abord que la constante A doit être nulle ; car la valeur de v qui exprime la température du centre , lorsqu'on fait x = o ne peut pas être infinie, donc le terme A cos. x doit être omis.

De plus le nombre n ne peut pas être pris arbitrairement.

En effet si dans lequation déterminée — £ -+- hv = o on substitue la valeur de v, on trouvera

n x cos. nx(kx — i)sin. nx=o.

Comme 1 équation doit avoir lieu à la surface , on y supposera x = X rayon de la sphère , ce qui donnera

- " X-v = i — h X. Soit X le nombre i-AXet»X = i,

on aura — e — = X. Il faut donc trouver un arc e qui , divisé par sa tangente donne un quotient connu X , et Ton prendra n — -%. Il est visible qu'il y a une infinité de tels arcs, qui ont avec .leur tangente un rapport donné; en sorte que

l'équation de condition U|**x ^ 1 — h ^ a une infinité de racines réelles.

Les constructions sont très-propres à faire connaître la nature de cette équation. Soit u = tang. e (voy. fig. 12), l'équation d'une ligne dont l'arc z est l'abscisse, et u l'ordonnée ; et soit u = ^ 1 équation d'une droite dont e et u désignent aussi les coordonnées. Si on élimine u avec ces deux équations, on a la proposée ^ = tang. 1. L'inconnue e est

donc l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite. Cette ligne courbe est composée d'une infinité d'arcs; toutes les ordonnées correspondantes aux abscisses \ \ r, {tj, fc, etc. sont infinies, et toutes celles qui répondent aux points o, 2r, 3ic, etc. sont nulles. Pour tracer

la droite "dont l'équation est u= |=^eAX , on forme le