CHAPITRE V

quarré o 1 « 1 , et portant la quantité h X de « en A, on joint le point h avec l'origine o. La courbe dont l'équation est «=tang. e a pour tangente à l'origine non une ligne qui divise l'angle droit en deux parties égales , parce que la dernière raison de l'arc à sa tangente est 1. On conclut de là que si X ou 1 — A X est une quantité moindre que l'unité, la droite mom passe à l'origine au-dessus de la courbe n o n et qu'il y a un point d'intersection de cette droite avec la première branche. Il est également évident que la même droite coupe toutes les branches ultérieures n <an, n 2 u n, etc. Donc

l'équation — — = nun nombre infini de racines réelles.

* tan g. «

La première est comprise entre o et ^ , la seconde entre w

et 3 - , la troisième entre 2 * et 5 - , ainsi de suite. Ces ra-

cines approchent extrêmement de leurs limites supérieures lorsque leur rang est très-avancé.

Si l'on veut calculer la valeur d'une de ces racines, par exemple : de la première , on peut employer la règle suivante : on écrira les deux équations e = arc. tang. u et

u = ^ , arc. tang. u désignant la longueur de l'arc dont la

tangente est u. Ensuite prenant un nombre quelconque pouru, on en conclura, au moyen de la première équation , la valeur de e ; on substituera cette valeur dans la seconde équation , et l'on en déduira une autre valeur de u ; on substituera cette seconde valeur de u dans la première équatiou ; on en déduira la valeur de e qui , au moyen de la seconde équation, fera connaître une troisième valeur

de u. En la substituant dans la première équation on aura une nouvelle valeur de e. On continuera ainsi de déterminer u par la seconde équatiou , et e par la première. Cette opération donnera des valeurs de plus en plus approchées de l'inconnue e, la construction suivante rend cette convergence manifeste.

En effet, si le point u correspond (voy. fig. i3) à la valeur arbitraire que l'on attribue à l'ordonnée u; et si l'on substitue cette valeur dans la première équation e=arc. tang. u, le point e correspondra à l'abscisse que l'on aura calculée, au moyen de cette équation. Si l'on substitue cette

abscisse e dans la seconde équation u = on trouvera une

ordonuée u qui correspond au point u. Substituant u dans la première équation , on trouvera une abscisse t qui répond au point e'; ensuite cette abcisse étant substituée dans la seconde équation fera connaître une ordonnée u qui, étant substituée dans la première, fera connaître une troisième abscisse e", ainsi de suite à l'infini. C'est-à-dire que, pour représenter l'emploi continuel et alternatif des deux équations précédentes , il faut par le point u mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le point d'intersection e mener la verticale jusqu'à la droite, par le point d'intersection u' mener l'horizontale jusqu'à la courbe, par le point d'intersection e' mener la verticale jusqu'à la droite, ainsi de suite à l'infini, en Rabaissant de plus en plus vers le point cherché.

La figure précédente (i3) représente le cas où l'ordonnée prise arbitrairement pour u est plus grande que celle qui répond au point d'intersection. Si l'on choisit au contraire

CHAPITRE IV. 345 pour la valeur initiale de u, une quantité plus petite, et que Ton emploie de la même manière les deux équations

. 8 = arc. tang. u, u on parviendrait encore à des valeurs

de plus en plus approchées de l'inconnue. La figure (i4) fait connaître que dans ce cas on s'élève continuellement vers le point d'intersection en passant par les points ut u Y «Y, etc. qui terminent des droites horizontales et verticales. On obtient, en partant d'une valeur de « trop petite, des quantités e t t «"' etc. qui convergent vers l'inconnue et sont plus petites qu'elles; et l'on obtient, en partant d'une valeur de u trop grande, des quantités qui convergent aussi vers l'inconnue, et dont chacune est plus grande qu'elle. On connaît donc des limites de plus en plus resserrées, et entre lesquelles la grandeur cherchée sera toujours comprise. L'une et l'autre approximation sont représentées par la formule

t— arc. tang.Q arc. tang.Q arc. tang. Q arc. tang. Q))

Lorsqu'on aura effectué quelques-unes des opérations indiquées , les résultats successifs différeront moins et Ton sera parvenu à une valeur approchée de e.

On pourrait se proposer d'appliquer les deux équations

c = arc. tang. u, et u = ~ dans un ordre différent, en leur

donnant cette forme u — tang. e et e = \ u. On prendrait pour e une valeur arbitraire, et, en la substituant dans la première équation, on trouverait la valeur de u, qui étant substituée dans la seconde équation donnerait une seconde

valeur de t ; on emploierait ensuite cette nouvelle valeur de t de la même manière qu'on a employé la première. Mais il est facile de reconnaître, par les constructions, qu'en suivant le cours de ces opérations, on s'éloigne de plus en plus du point d'intersection, au lieu de s'en approcher, comme dans le cas précédent. Les valeurs successives de t que l'on obtiendrait diminueraient continuellement jusqu'à zéro , ou augmenteraient sans limite. On passerait successivement de e* en u\ de u en e', de t en u\ de u' en t , ainsi de suite à l'infini.

La règle que l'on vient d'exposer pouvant s'appliquer au

calcul de chacune des racines de l'équation — — = i — A X

qui ont d'ailleurs des limites données, on doit regarder toutes ces racines comme des nombres connus. Au reste il était seulement nécessaire de se convaincre que l'équation a une infinité de racines réelles. On a rapporté ici ce procédé d'approximation parce qu'il est fondé sur une construction remarquable, qu'on peut employer utilement dans plusieurs cas, et qu'il fait connaître sur-le-cliamp la nature et les limites des racines ; mais l'application qu'on ferait de ce procédé à l'équation dont il s'agit serait beaucoup trop lente; il serait facile de recourir dans la pratique à une autre méthode d'approximation.

On connait maintenant une forme particulière que l'on peut donner à la fonction 11, et qui satisfait à deux conditions de la question. Cette solution est représentée par

— r-An t > •

A.c nn.nx — *» f $m. nx

1 équation v === — — --— ouv = ae Le

CHAPITRE y. 347 coefficient a est un nombre quelconque, et le nombre n est

tel que l'on a * f ^ — 1 — h X. Il en résulte que si les températures initiales des différentes couches étaient proportionnelles au quotient s'"'^'r, elles diminueraient toutes

à-la-fois , en conservant entre elles pendant toute la durée du refroidissement les rapports qui avaient été établis ; et la température de chaque point s'abaisserait comme l'ordonnée d'une logarithmique dont l'abscisse désignerait le temps écoulé. Supposons donc que , l'arc e étant divisé en parties égales et pris pour abscisse, on élève en chaque point de division une ordonnée égale au rapport du sinus à l'arc. Le système de toutes ces ordonnées sera celui des températures initiales, qu'il faut attribuer aux différentes couches, depuis le centre jusqu'à la surface, le rayon total X étant divisé en parties égales. L'arc e dont la longueur représenterait dans cette construction le rayon X ne doit pas être pris arbitrairement; il est nécessaire que cet arc ait avec sa tangente un rapport donné. Comme il y a une infinité d'arcs qui satisfont à cette condition, on formerait ainsi une infinité de systèmes des températures initiales, qui peuvent subsister d'eux-mêmes dans la sphère, sans que les rapports des températures changent pendant la durée du refroidissement.

Il ne reste plus qu'à former, un état initial quelconque, au moyen d'un certain nombre ou d'une infinité d'états partiels, dont chacun représente un de ces systèmes de température que nou6 avons considérés précédemment , et

dans lesquels l'ordonnée varie avec la distance x, proportionnellement an quotient du sinus par Tare. Le mouvement général de la chaleur dans l'intérieur de la sphère, sera alors décomposé en autant de mouvements particuliers dont chacun s'accomplira librement comme s'il était seul.

Désignant par n, n, ns rc4 ns , etc. les quantités qui satis-

font à l'équation ^£~^= i — AX, et que, l'on suppose

rangées par ordre , en commençant par la plus petite ; on formera l'équation générale

— kn\t . — kn\t . — kn\t •

<vx=ale sin.n,x+a,e sin./î,ar-Hfl,e sin.rcj#+etc.

Si l'on fait t = o , on aura pour exprimer l'état initial des températures

x v— a, sin. n, x+ a, sin. n, x-\- a3 sin. n3 x+ aA sin. nA x+ etc.

La question consiste à déterminer , quel que soit l'état initial, les coefficients at at <z, a4, etc. Supposons donc que l'on connaisse les valeurs de v depuis x=o jusqu'à :r=X, et représentons ce système de valeurs par F x ; on aura

F x == ^ (at sin. rc, x + at sin. nt x + ay sin, n , x aà sin. nAx + etc.) (e)

Pour déterminer le coefficient at , on multipliera les deux nombres de l'équation par x sin. nxdx, et l'on intégrera depuis x=o jusqu'à x=X. L'intégrale f sin. mx sin. nxdx prise entre ces limites, est

( — m sin. n X cos. m X n sin. m X cos. n X)-

CHAPITRE V. 349 Si m et n sont des nombres choisis parmi les racines nt nt ^ rc4, et qui satisfont à l'équation u^nX= 1 — ^X, on aura

771 X v — — w* y oumcos.roXsin.reX — /isin./wXcos./ta?=o.

tang.mX tang./tX

On voit par-là que la valeur totale de l'intégrale est nulle ; mais il y a un seul cas où cette intégrale ne s'évanouit pas,

c'est lorsque m = n. Elle devient alors ^, et, par l'application des règles connues, elle se réduit à ^ X — ^ sin. 2/2 X.

Il résulte de là que pour avoir la valeur du coefficient dans l'équation (c), il faut écrire

ùj*x sin./i.ar .dxF x=at Qi — ~- sin. 2/1, X^.

Le signe /indiquant que l'on prend l'intégrale depuis x=o jusqu'à x = X. On aura pareillement

a j xsin. ntx dxFx=a% (X — ~sin. a/i3X).

On déterminera de même tous les coefficients suivants. II est aisé de voir que l'intégrale définie af x . sin. nxdxFx a toujours une valeur déterminée, quelle que puisse être la fonction arbitraire F x. Si cette fonction F x est représentée par l'ordonnée variable d'une ligne qu'on aurait tracée d'une manière quelconque, la fonction or F a;. sin. nx, correspondra aussi à l'ordonnée d'une seconde ligne que l'on construirait facilement au moyen de la première. L'aire terminée par cette dernière ligne entre les abscisses x = o,

.r = X fera connaître le coefficient «0 i étant l'indice du rang de la racine n.

La fonction arbitraire F x entre dans chaque coefficient sous le signe de l'intégration, et donne à la valeur de v toute la généralité que la question exige, on parvient ainsi à l'équation suivante

sin. n, xfxsin.n, xYx.dx , . sin.n.x fxtm.n^xY 'xdx ,

£ — kn\t ^ ~kn\t .

: v i . v e -t- v i „ e -+- etc.

X sin. ï«,X X sin. a n, X

an, unt

Telle est la forme que l'on doit donner à l'intégrale générale

■ iw .. dv ,r d* v a dv » n ,

de l équation -j-==K -rp~*~ ~ Pour quelle représente

le mouvement de la chaleur dans la sphère solide. En effet toutes les conditions de la question seront remplies: i° l'équation aux différences partielles sera satisfaite ; 2° la quantité de chaleur qui s'écoule à la surface conviendra à-la-fois à l'action mutuelle des dernières couches et à l'action de l'air

sur la surface ; c'est-à-dire que l'équation ^ -+• h v = o , à

laquelle chacune des parties de la valeur de v satisfait lorsque x = X, aura lieu aussi lorsqu'on prendra pour v la somme de toutes ces parties; 3° la solution donnée conviendra àjetat initial lorsqu'on supposera le temps nul.

Les racines /i, ns n<* etc. de l'équation ^=1 — AX

sont très-inégales; d'où l'on conclut que si la valeur du temps écoulé t est considérable, chaque terme de la valeur de v est extrêmement petit par rapport à celui qui le précède. A mesure que le temps du refroidissement augmente, les dernières parties de la valeur de v cessent d'avoir aucune