CHAPITRE V. 35i

influence sensible ; et ces états partiels et élémentaires qui composent d'abord le mouvement général , afin qu'il puisse comprendre l'état initial , disparaissent presqu'entièrement , excepté un seul. Dans ce dernier état, les températures des différentes couches décroissent depuis le centre jusqu'à la surface, de même que dans le cercle les rapports du sinus à l'arc décroissent à mesure que cet arc augmente. Cette loi règle naturellement la distribution de la chaleur dans une sphère solide. Lorsqu'elle commence à subsister , elle se conserve pendant toute la durée du refroidissement. Quelle que soit la fonction F x qui représente l'état initial , la loi dont il s'agit tend de plus en plus à s'établir ; et lorsque le refroidissement a duré quelque temps, on peut supposer quelle existe sans erreur sensible.

Nous appliquerons la solution générale au cas où la sphère ayant été long-temps plongée dans un liquide, a acquis dans tous ses points une même température. Dans ce cas, la fonction Fx est i, et la détermination des coefficients se réduit à intégrer x sin. nx dx , depuis x = o jusqu'à r . . ■ sin. «X — nXcos.nX ^ ,

x = \7 cette intégrale est - . Donc la valeur d'un coefficient quelconque est exprimée ainsi

2 sin.nX — nXcos.nX

n nX — sin.nXcos.nX '

le rang du coefficient est déterminé par celui de la racine n, l'équation qui donne ces valeurs de n est

n X cos. n X . v

sm.ttX

35a THÉORIE DE LA CHALEUR.

on trouvera donc a = -- ~ -•

n nXcos. tfc/iX — cos. «X

Il est aisé maintenant de former la valeur générale ; elle est donnée par l'équation

— hn\t . — kn\t .

aXA n,(n, Xcosec. n,X — cos.n.X) n(n%X cosec.n.X— cos.n.X)

En désignant par «, e, c3 c4 , etc. les racines de l'équation

=i — h X , et les supposant rangées par ordre en

commençant par la plus petite; remplaçant nt X,raa X,/î, X, etc. par e, e, e}, etc. , et mettant au lieu de K et h leurs valeurs

et j^, on aura pour exprimer les variations des températures pendant le refroidissement dune sphère solide qui avait été uniformément échauffée, l'équation

V==KX

k t? JLiL,

+- + etc.

e, cosec. e, — cos. e' e, ^ e.cosec. e. — cos.e.

SECTION II

Remarques diverses sur cette solution,

Nous exposerons quelques-unes des conséquences que Ton peut déduire de la solution précédente. Si l'on suppose que le coefficient h qui mesure la facilité avec laquelle la chaleur passe dans l'air, a une très-petite valeur, ou que le