CHAPITRE IV

mesurant les temps du refroidissement dans des vases de différentes épaisseurs.

Ce que nous avons dit plus haut sur le refroidissement d'une sphère de petite dimension , s'applique au mouvement du thermomètre dans l'air ou dans les liquides. Nous ajouterons les remarques suivantes sur l'usage de ces instruments.

Supposons qu'un thermomètre à mercure soit plongé dans un vase rempli d'eau échauffée, et que ce vase se refroidisse librement dans l'air dont la température est constante. Il s'agit de trouver la loi des abaissements successifs du thermomètre.

Si la température du liquide était constante , et que le thermomètre y fut plongé , il changerait de température en s'approchant très-promptement de celle du liquide. Soit v la température variable indiquée par le thermomètre , c'està-dire son élévation au-dessus de la température de l'air; soit u l'élévation de la température du liquide au-dessus de celle de l'air, et t le temps correspondant à ces deux valeurs u et u. Au commencement de l'instant d t qui va s'écouler, la différence de la température du thermomètre à celle du mercure étant v — u la variable v tend à diminuer , et elle perdra dans l'instant d t une quantité proportionnelle à v — u; en sorte que l'on aura l'équation dv= — h (y — u)dt. Pendant le même instant dt la variable u tend à diminuer, et elle perd une quantité proportionnelle à u , en sorte que l'on a l'équation du = — Hudt. Le coefficient H exprime la vitesse du refroidissement du liquide dans l'air, quantité que l'on peut facilement reconnaître par l'expérience , et le

coefficient h exprime la vitesse avec laquelle le thermomètre se refroidit dans le liquide. Cette dernière vitesse est beaucoup plus grande que H. On peut pareillement trouver par l'expérience le coefficient A en faisant refroidir le thermomètre dans le liquide entretenu à une température constante. Los deux équations du^^Hudt et dv= — u)dt

ou » = Ae~'Hi et -^~ = — h v + h A é~~ht fournissent

celle-ci v — u = b e~ kt+ a H e~ H a et b étant des constantes arbitraires. Supposons maintenant que la valeur initiale de v *— u soit A , c'est-à-dire que la hauteur du thermomètre surpasse de A la vraie température du liquide au commencement de l'immersion ; et que la valeur initiale de u soit E, on déterminera a et b, et Ton aura

v — u = A e + A—tl v — e )'

La quantité v — U est l'erreur du thermomètre , c'est-à-dire la différence qui se trouve entre la température indiquée par le thermomètre et la température réelle du liquide au même instant. Cette différence est variable, et l'équation précédente nous fait connaître suivant quelle loi elle tend à décroître. On voit par l'expression de cette différence v — u

que deux de ses termes qui contiennent « ^' diminuent très -rapidement, avec la vitesse qu'on remarquerait dans k thermomètre, si on le plongeait dans le liquide « température constante. A l'égard du terme qui contiént e~ H/, son décaissement est beaucoup plus lent, et s'opère avec

CHAPITRE IV. 359 la vitesse du refroidissement du vase dans l'air. Il résulte de là qu'après un temps bien peu considérable, l'erreur du thermomètre est représentée par le seul terme

HE — Ht H e ou

Voici maintenant ce que l'expérience apprend sur les valeurs de H et à. On a plongé dans l'eau , à 8° 7 (division octogésimale ) , un thermomètre qui avait d'abord été échauffé , et il est descendu dans l'eau de t\o à 20 degrés en six secondes. On a répété plusieurs fois et avec soin cette

expérience. On trouve d'après cela que la valeur de e est 0,00004^, si le temps est compté en minutes, c'est-àdire que l'élévation du thermomètre étant E au commencement d'une minute , elle sera E (0,000042) à la fin de cette minute. On trouve aussi h log. e = — 4^761 271. On a laissé en même temps se refroidir dans l'air à 120 un vase de porcelaine, rempli d'eau échauffée à 6o°. La valeur de

e dans ce cas a été trouvée de o,q85i4 1 celle de H log. e est — o , oo65oo. On voit par-là combien est petite la valeur

de la fraction e~h9 et qu'après une seule minute chaque

terme multiplié par e A' n'est pas la moitié de la dixmillième partie de ce qu'il était au commencement de cette minute. On doit donc n'avoir aucun égard à ces termes

dans la valeur de n — u. Il reste l'équation v — u =

H« HHUnt*, t /

ou v — u = -£ )ï yl"1T' DaPres Ie* valeurs trouvées

pour H et h , on voit que cette dernière quantité h est plus

36o THÉORIE DE LA CHALEUR.

de 673 fois plus grande que H, c'est-à-dire que le thermomètre se refroidit dans l'eau plus de six cent fois plus vite

que le vase ne se refroidit dans l'air. Ainsi le terme 5^ est

certainement moindre que la 600e partie de 1 élévation de la température de l'eau au-dessus de celle de l'air, et comme

le terme ^^H • ^ est moindre que la 600e partie du précédent qui est déjà très -petit, il s'ensuit que l'équation qu'on doit employer pour représenter très -exactement

l'erreur du thermomètre est v — u = En général si h est une quantité très-grande par rapport à H , on aura toujours l'équation v — u = ^j^-

3oo.

L'examen dans lequel on vient d'entrer fournit des conséquences très-utiles pour la comparaison des thermomètres.

La température marquée par un thermomètre plongé dans un liquide qui se refroidit est toujours un peu plus forte que celle du liquide. Cet excès ou erreur du thermomètre diminue en même temps que l'élévation du thermomètre. On trouverait la quantité de la correction en multipliant l'élévation actuelle u du thermomètre, par le rapport de la vitesse H du refroidissement du vase dans l'air à la vitesse h du refroidissement du thermomètre dans le liquide. On pourrait supposer que le thermomètre , lorsqu'il a été plongé dans le liquide , marquait une température inférieure. C'est même ce qui arrive presque toujours ; mais cet état ne peut durer ; le thermomètre commence à se rapprocher de la température du liquide; en même temps le liquide se