CHAPITRE XV

grale étant prise depuis x*=q jusqu'à xz^X^Oa mettra pour v «a valeur

a, — kn\t . *, — k*\t • . «, — kn\t .

-e &m.n,x+-e sm.ntx+^e sin.7i,a;+etc.

et l'on aura l'équation

3 C ■> j 3( sin.n.X — n.Xcos.n.X / — kn\t

vjx'»dxu=T\a.-< ^ 4«

+ g .in.n,X-n,XcM.n,X 4o-*«;«+etc |

On a trouvé précédemment * = - ^x-^in.a/nX ' °" aura donc, en désignant par z la température moyenne,

STj^eXae,— 6in.a*,)e, e;(ae,— *in.ae,)e,

équation dans laquelle tous les coefficients des exponentielles sont positifs.

3oa.

Nous considérerons le cas où toutes les autres conditions demeurant les mêmes, la valeur X du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction

rapportée en l'article a85 , on voit que la quantité devenant infinie, la droite menée par l'origine, et qui doit couper les différentes branches de la courbe 6e confond avec l'axe des x. On trouve donc pour les différentes valeurs de e les quantités «, a*, 3*, etc.

K deve- Le terme de la valeur de z qui contient efC.D'X'

narrt,à mesure que le temps augmente, beaucoup plus grand que les suivants ; cette valeur de z après un certain temps est exprimée sans erreur sensible par le premier terme seu-

lement. L'exposant ^-^ étant égal à K c D x, , on voit que

le refroidissement final est très-lent dans les sphères d'un grand diamètre , et que l'exposant de e qui mesure la vitesse du refroidissement est en raison inverse du quarré des diamètres.

On peut d'après les remarques précédentes se former une idée exacte des variations que subissent les températures pendant le refroidissement d'une sphère solide. Les valeurs initiales de ces températures changent successivement, à mesure que la chaleur se dissipe par la surface. Si les températures des diverses couches sont d'abord égales, ou si elles diminuent depuis la surface jusqu'au centre , elles ne peuvent point conserver leurs premiers rapports, et dans tous les cas , le système tend de plus en plus vers un état durable qu'il ne tarde point à atteindre sensiblement. Dans ce dernier état, les températures décroissent depuis le centre jusqu'à la surface. Si l'on représente par un certain arc i moindre que le quart de la circonférence le rayon total de la sphère, et que, divisant cet arc en parties égales, on prenne en chaque point le quotient du sinus par l'arc , le système de ces rapports représentera celui qui s'établit il' lui-même entre les températures des couches d'une é$;i épaisseur. Dès que ces derniers rapports ont lieu, ils c< tinuent de subsister pendant toute la durée du refroid ment. Alors chacune des températures diminue comm«