CHAPITRE IV

donnée d'une logarithmique, le temps étant pris pour abscisse. On peut reconnaître que cet ordre est établi en observant plusieurs valeurs successives z z z" z"', etc. qui désignent la température moyenne pour les temps r, t+@^ t-t-a 0, t+3 0, etc. la suite de ces valeurs converge toujours vers une progression géométrique, et lorsque les quotients

successifs etc« ne changent plus , on en conclut

que les rapports dont il s'agit sont établis entre les températures. Lorsque la sphère est d'un petit diamètre, ces quotients sont sensiblement égaux dès que le corps commence à se refroidir. La durée du refroidissement pour un intervalle donné, c'est-à-dire le temps nécessaire pour que la température moyenne z soit réduite à une partie déter-

minée d'elle-même - , est d'autant plus grande que la sphère

a un plus grand diamètre.

Si deux sphères de même matière et de dimensions différentes sont parvenues à cet état final où les températures s'abaissent en conservant leurs rapports , et que l'on veuille comparer les durées d'un même refroidissement, c'est-àdire le temps 8 que la température moyenne z de la première emploie pour se réduire à ~ , et le temps 0' que la température z de la seconde met à devenir — ; il faut considérer trois cas différents. Si les sphères ont lune et l'autre un petit diamètre, les durées 0 et 0' sont dans le rapport même des diamètres. Si les sphères ont l'une et l'autre un diamètre très-grand , les durées 0 et 0' sont dans le rapport

des quarrés des diamètres; et si les sphères ont des diamètres compris entre ces deux limites, les rapports des temps seront plus grands que ceux des diamètres, et moindres que ceux de leurs quarrés. On a rapporté plus haut les valeurs exactes de ces rapports.

La question du mouvement de la chaleur dans une sphère comprend celle des températures terrestres. Pour traiter cette dernière question avec plus d étendue , nous en avons fait l'objet d'un chapitre séparé.

L'usage que l'on a fait précédemment de l'équation -A- = x est fondée sur une construction géométrique qui

est très-propre à expliquer la nature de ces équations. En effet cette construction fait voir clairement que toutes les racines sont réelles ; en même temps elle en fait connaître les limites , et indique les moyens de déterminer la valeur numérique de chacune d'elles. L'examen analytique des équations de ce genre donnerait les mêmes résultats. On pourra d'abord reconnaître que l'équation e — X tang. e , dans laquelle X est un nombre connu moindre que l'unité, n'a aucune racine imaginaire de la forme m+n\/ — i. Il suffit de substituer au lieu de e cette dernière quantité, et l'on voit après les transformations que le premier membre ne peut devenir nul lorsqu'on attribue k m et n des valeurs réelles, à moins que n ne soit nulle. On démontre aussi qu'il ne peut y avoir dans cette même équation

ecoa.e — Xsin.e e — Xtang. e = o, ou — = 0.

aucune racine imaginaire de quelque forme que ce soit.