CHAPITRE V. 307 En effet, i° les racines imaginaires du facteur ^~=o

n'appartiennent point à 1 équation «— x tang. • t= o puisque ces racines sont toutes de U forme tn + n \/ — i ; a° l'équation sin. e — ' ^ cos. <aad a nécessairement toutes ses racines

réelles lorsque X est moindre que l'unité*. Pour prouver cette dernière proposition, il faut considérer sin. « comme le produit d'une infinité de facteurs qui sont

et considérer cos. « comme dérivant de sin. e par la diffère i> tiation. On supposera qu'au lieu de former sin. e du produit d'un nombre infini de facteurs, on emploie seulement les m premiers, et que l'on désigne le produit par 9„e.Pour trouver la valeur correspondante qui remplace cos. • , on

prendra d ou e. Cela posé , on aura l'équation

<p„ e — ^ 9» • = o. Or, en donnant au nombre m ses valeurs

successives i, a, 3, 4i etc. depuis i jusqu'à l'infini, on reconnaîtra, par les principes ordinaires de l'algèbre, la nature des fonctions de e qui correspondent à ces différentes valeurs de m. On verra que, quelque soit le nombre m des facteurs , les équations en e qui en proviennent ont les caractères distinctifs de celles qui ont toutes leurs racines réelles.

De là on conclut rigoureusement que l'équation =x ,

dans laquelle X est moindre que l'unité ne peut avoir aucune racine imaginaire. Cette même propoposition pourrait

encore être déduite d une analyse différente que nous emploierons dans un des chapitres suivants.

Au reste la solution que nous avons donnée n'est point fondée sur la propriété dont jouit cette équation d'avoir toutes ses racines réelles. Il n'aurait donc pas été nécessaire de démontrer cette proposition par les principes de l'analyse algébrique. Il suffit pour l'exactitude de la solution que l'intégrale puisse coïncider avec un état initial quelconque; car il s'ensuit rigoureusement qu'elle doit représenter aussi tous les états subséquents.