SOLIDE

Le mouvement de la chaleur dans un cylindre solide d'une longueur infinie, est représenté par les équations

d v K fd* v x dv\ h v dV

~dt CD \ d~P x dx ) K +dx' — 0i

que l'on a rapportées (pag. i la et suivantes) dans les articles 118, 119 et 120. Pour intégrer ces équations, on donnera en premier lieu à v une valeur particulière très-simple

exprimée par l'équation v =e . u; m est un nombre quelconque, et u une fonction de x. On désigne par k le

coefficient ^ qui entre dans la première équation et par h

le coefficient £ qui entre dans la seconde. En substituant la valeur attribuée à v, on trouve la condition suivante:

m d* u 1 du

T w dx1 x Zï = 0

On choisira donc pour u une fonction de x qui satisfasse à cette équation différentielle. Il est facile de voir que cette fonction peut être exprimée par la série suivante :

37o THÉORIE DE LA CHALEUR.

^ désignant la constante k> On examinera plus particulièrement par la suite l'équation différentielle dont cette série dérive; on regarde ici la fonction u comme étant connue, et

l'on a e~~gkt. u pour la valeur particulière de v. L'état de la surface convexe du cylindre est assujéti à une

condition exprimée par l'équation déterminée hV + j^=o,

qui doit être satisfaite lorsque le rayon # a sa valeur totale X; on en conclura l'équation déterminée

ainsi le nombre g qui entre dans la valeur particulière

e 6 .u n'est point arbitraire. Il est nécessaire que ce nombre satisfasse à l'équation précédente , qui contient g et X. Nous prouverons que cette équation en g dans laquelle h et X sont des quantités données à une infinité de racines , et que toutes ces valeurs de g sont réelles. Il s'ensuit que l'on peut donner à la variable v une infinité de valeurs particulières de la forme e gkt .u, qui différeront seulement par l'exposant g. On pourra donc composer une valeur plus générale , en ajoutant toutes ces valeurs particulières multipliées par des coefficients arbitraires. L'intégrale qui servira à résoudre dans toute son étendue la question proposée est donnée par l'équation suivante :

v=a. e~ëtkt .u, + a>e~~*M .u> + a, e"gikt.u3 + etc.