CHAPITRE VI

et si l'on suppose que toute racine réelle d'une quelconque de ces équations étant substituée dans celle qui la précède, et dans celle qui la suit, donne deux résultats de signe contraire; H est certain que la proposée X^oa toutes ses racines réelles, et que par conséquent il en est de même de toutes ses équations subordonnée»

JX rf-X rf'X

^ = °> d^ = °> ~7T = 0 ' etc-

ces propositions sont fondées sur la théorie des équations algébriques, et ont été démontrées depuis long-temps. Jl suffit donc de prouver que les équations

dr d* Y

X = 7ô = °i 7F=0 etc'

remplissent la condition précédente. Or cela suit de l'équation générale

car si l'on donne a 0 une valeur positive qui rende nulle la

di+t d* dl* "

fluxion — , les deux autres termes — £ et — rece-

d%, + 1 dti di' + l

' vront des valeurs, de signe opposé. A l'égard des valeurs négatives de 8 il est visible , d'après la nature de la fonction yo, qu'aucune quantité négative mise à la place de 0 ne pourrait rendre nulle , ni cette fonction , ni aucune de celles qui en dérivent par la différentiation ; car la substitution d'une quantité négative quelconque, donne à tous les termes le

même signe. Donc on est assuré que l'équation 7=0 a toutes

ses racines réelles et positives.

3oo.

Il suit de là que 1 équation y 8=0 ou /=o a aussi toutes ses racines réelles ; ce qui est une conséquence connue des principes de l'algèbre. Examinons maintenant quelles sont

les valeurs successives que reçoit le terme ou 8. y

lorsqu'on donne à 0 des valeurs continuellement croissantes,

depuis 9 = o jusqu'à 8 = ^. Si une valeur de 8 rend y' nulle,

la quantité 6 -j devient nulle aussi ; elle devient infinie lorsque 6 rend y nulle. Or il suit de la théorie des équations que, dans le cas dont il s'agit, toute racine de y'=o est placée entre deux racines consécutives de<y=o, et réciproquement. Donc, en désignant par 8, et 8, deux racines consécutives de l'équation y' = 0, et par 8, la racine de l'équation y=o qui est placée entre 8, et 83, toute valeur de 6 comprise entre 8, et 8, donnera à y un signe différent de celui qui recevrait cette fonction y, si 8 avait une valeur

comprise entre 8, et 83. Ainsi la quantité 8 — est nulle lors-

que 8=8,; elle est infinie lorsque 8 = 8, , et nulle lorsque

8=8j. Il est donc nécessaire que cette quantité 8 — prenne

toutes les valeurs possibles , depuis 8 jusqu'à l'infini , dans l'intervalle de 8, a 8,, et prenne aussi toutes les valeurs possibles de signe opposé, depuis l'infini jusqu'à zéro, dans

l'intervalle de 8, à 8â. Donc l'équation A =8. — a nécessaire-

ment une racine réelle entre 8, et 83 , et comme l'équation

CHAPITRE VI. 37o y'=o a toutes ses racines réelles en nombre infini, il s'en suit que l'équation A =6^ a la même propriété. On est

parvenu à démontrer de cette manière que 1 équation déterminée

g'X* g* X< f. g\X* hX ~ aa'.4' ~*a'.4'6' +

1 a' a' + J7"^ + a».4«.6- + etC*

dont l'inconnue est # à toutes ses racines réelles et positives. Nous allons poursuivre cet examen de la fonction u et de l'équation différentielle à laquelle elle satisfait.

3io.

dy d* y >

De l'équation y H- H- 6 -jp = o, on déduit l'équation

générale -4 -f- (i + 0 — 7+f + 0 + ; = °> et 81 lon suppose 6 = 0, on aura l'équation

dti+1

qui servira à déterminer les coefficients des différents termes du développement de la fonction /6, car ces coefficients dépendent des valeurs que reçoivent les rapports différentiels lorsqu'on y fait la variable nulle. En supposant le premier connu et égal à i , on aura la série

si maintenant dans l'équation proposée

i76 THÉORIE DE LA CHALEUR.

d* u i du

eu + 7ïr- + -*j-x = 0-

On fiait g- = 6 et que l'on cherche la nouvelle équation ea u et 0 en regardant u comme une fonction de 6 , on trouvera

u + ^5 8 rfF = °

d'où l'on conclut

a=i-6-h- — + + etc.,

ex* g* x* OU U=l — ^r- 4- ^TJT + C-tC

41 est facile d'exprimer la somme de cette série. Pour obtenir ce résultat, on développera comme il suit la fonction eos. (vsin. Je) en cosinus d'arcs multiples. On aura, par les transformations connues ,

i x\Z"~ i —r \/~x x x i — jri/~

ae — -*e — -ae -ne

a cos. (a sin. x)=e e +e * e%

et désignant c*^*1 par w

au* — «m~ 1

ucos. (asin.j:)=i=e 2 .e * 4-e 3 .ea

En développant le second membre selon les puissances de w, on trouvera que le terme qui ne contient point * dans le développement de oos.(«sin.x) est