CHAPITRE VI

les coefficients de o',»1,»', etc. sont nuls, il en est de même des coefficients des termes qui contiennent o> ,&» , « ,etc; le coefficient de w~a est le même que celui de *»*; le coefficient de "4 est 2 (t^IO - a-. 4.6.8. »o + ) ' ,e coefficient de

u 4 est le même que celui de »4; il est aisé d'exprimer la loi suivant laquelle ces coefficients se succèdent; mais,

sans s'y arrêter, on écrira 2 cos. 2 x , au lieu de ( w ~a)

ou 2 cos. ^ x slu lieu de («* -1- «~ ainsi de suite: donc la quantité 2 cos. (a sin.a:) peut être facilement développée en une série de la forme

A -f- B cos. 2 x + C cos. 4 3? + D cos. 6* -h etc.

et le premier coefficient A est égal à

f ot* a* et* \

si Ton compare maintenant l'équation générale que nous avons donnée pi

i « 9 x=^j*fxdx + cos.xjyxcos. xdx + etc.

à celle-ci, 2cos.(osin. x) = A -f- B cos. zx+C cos. 4-*+ etc., on trouvera les valeurs des coefficients A, B, C, exprimées par des intégrales définies. Il suffit ici de trouver celle du premier coefficient A. On aura donc

J A=^ j (cos. (« sin.a?) dx^,

l'intégrale devant être pris depuis x=o jusque Donc

3rtë THÉORIE DE LA CHALEUR.

la valeur de la série i — £ + ^ — 2>**6, -h etc. est celle

de l'intégrale définiey dx cos. («sin. x). On trouverait de

la même manière par la comparaison des deux équations les valeurs dus coefficients suivants B , C etc. ; on a indiqué ces résultats T parce qu'ils sont utiles dans d'autres recherches qui dépendent de la même théorie. Il suit de là que la valeur particulière de u qui satisfait à 1 équation

d* u t du i /* /, \ j

T intégral* étant prise depuis r—o jusqu'à r=x. En désignant par q cette valeur de u, et faisant u=qs, on trouvera S =a -+- b f —% et l'on aura pour l'intégrale complète

.... d1 u i du

de 1 équation gu + ^— ; + - ^=o,

«=~ (A + B/^-^^ si„ >)rfr),)/cas.(*l^.sm.r)rfr,

A et B sont des constantes arbitraires. Si Ton suppose B=o

on aura, comme précédemment, u— f cos. (xV/^.sin. r)</r.

Noos ajouterons les remarques suivantes relatives à cette dernière expression.

L'équation

- / cos.(8sin. u) tfu=i-p + -^ ^ h etc.