CHAPITRE VI. 379 se vérifie d'elle-même. En effet, on a

f cos. (t sin. u)du=f du ( i ~?^+?^-^n^%etcS J J J \ 'i 2.3.4 a.3.4.5.6 ^ eicV

et intégrant depuis u=o jusqu'à «=x, en désignant par S, S4 S6 etc. les intégrales définies

JsinSu du, j sin.'w du, j sin.6 m du etc. ,

on aura

i/cos. (. un. u)du=i-t.S, + £-4.St- ^-S. + etc.

il reste à déterminer 8,848,5 etc. Le terme sin."w, n étant un nombre pair, peut être développé ainsi :

sin." u — A. 4- B. cos. a n -+■ C. cos. 4 « 4- etc. en multipliant par du et intégrant entre les limites u = o et w=ir, on aura seulement f (du sin." u) = A. les autres

termes s'évanouissent. On a , d'après la formule connue pour le développement des puissances entières du s Lu us,

A—-.- A — 1 -hA a 1 4.5.6 A i 5.6.7.8

en substituant ces valeurs de 8,848584 etc., on trouve

- J cos. (•an,*) = ! + ^ + etc.

On peut rendre ce résultat plus général en prenant, au lieu de cos. (ts'm. u) , une fonction quelconque ? de * sin. u.

38o THÉORIE DE LA CHALEUR.

Supposons donc que l'on ait une fonction 9 z qui soit .ainsi développée 9z=? 4- 29' + "-<f -4- «^-39 '+ etc., on aura

v(*sin. u)=f +.t9'.sin.u 4- T 9". sin.' w + ^"'.sin.'w-*- etc. et l- Jdu9{tsïn.u)=<? + t9'.S, + - ?\S, + ^"'.Sj+etc.fc)

Or, il est facile de voir que S.SjSjS, etc., ont des valeurs nulles. A 1 égard de S.S^S*... leurs valeurs sont les quantités que nous avons désignées précédemment par A, A4 A6... etc. C'est pourquoi , en substituant ces valeurs dans l'équation (e), on aura généralement, et quelle que soit la fonction 9

i J9(tsm.u)du=9+^9 + etc'

dans le cas dont il s'agit, la fonction 9 z représente cos. z, et l'on a 9=1, f =— 1 , *"="» f" =— 1 , «n» de suite.

Pour connaître entièrement la nature de la fonction /», et celle de l'équation qui donne les valeurs de g. il faudrait considérer la figure de la ligne qui a pour équation

r=i-e+--^ 4- etc.

et qui forme avec l'axe des abscisses des aires alternativement positives ou négatives qui se détruisent réciproquement; on pourrait aussi rendre plus générales les remarques précédentes sur l'expression des valeurs des suites en intégrales définies. Lorsqu'une fonction d'une variable x est dé