CHAPITRE VI. 38i

veloppée selon les puissances de x, on en déduit facilement la fonction que représenterait la même série, si Ton remplaçait les puissances

x x% x^xyx'... etc. par cos..r, cos. 2x, cos. 3x, cos.4.*, etc.

en faisant usage de cette réduction, et -du procédé indiqué par le paragrap. 2e. de l'art. (a35) , on obtient les intégrales définies qui équivalent à des séries données : mais nous ne pourrions entrer dans cet examen , sans nous écarter beaucoup de notre objet principal. Il suffit d'avoir indiqué les moyens qui nous ont servi à exprimer les valeurs des suites en intégrales définies. Nous ajouterons seulement le développement de la quantité e en une fraction continue.

L'indéterminée y ou /9 satisfait à l'équation

dy » dr

d'où l'on déduit, en désignant par y,jf ,j",/T etc. les foncer d*r d'r d*r

tlons 5ï> dT'dV'TF*0- »

d'où l'on conclut

y ~ I+,yy —y -i

y — 3y+ey— 3+ey

6 — etc.

38a THÉORIE DE LA CHALEUR.

Ainsi la fonction — -yç- qui entre dans l équation déterminée a pour valeur la fraction continuée à l'infini

5 — etc.

Nous »allons maintenant rappeler les résultats auxquels nous sommes parvenus jusqu'ici.

Le rayon variable de la couche cylindrique étant désigné par x, et la température de cette couche étant v qui est fonction de x et du temps t, cette fonction cherchée v doit satisfaire à l'équation aux différences partielles

dit , / d* v i d v\ • Tï = k\dl? + x'dlc)>

on peut prendre pour v la valeur suivante:

— me

u est une fonction de x qui satisfait à l'équation

m d3 u i du

Si l'on fait 6= ™ • et que l'on considère u comme une

fonction de 8, on aura u+ ^ + 8^=0. La valeur suivante,

9* 61 8* u— i — 0 + - —-p-j; + a».3».4. ~ etc-

satisfait à 1 équation en i* et 8 , on prendra donc pour valeur de en x celle-ci ,

m x* m* x* m ' K 1 T "a* + 'aTT7""!7 ' a". 4*. 6» + etC"»

la somme de cette série est

i/co,.(*v/Hsm.r)rfr;

l'intégrale étant prise depuis r=o jusqu'à r=x. Cette valeur de u en x et m satisfait à l'équation différentielle, et conserve une valeur finie lorsque x est nulle. De plus, l'équation jii + ^ =o doit être satisfaite lorsque x=X rayon

du cylindre. Cette condition n'aurait pas lieu, si l'on donnait à la quantité m qui entre dans la fonction u une valeur quelconque; il faut que l'on ait l'équation