AX__

5 — etc.

dans laquelle 8 désigne y — . Cette équation déterminée qui équivaut à la suivante :

+ p-^ry + etc. )=8-+ ^--^ + etc.

donne pour 6 une infinité de valeurs réelles que l'on désigne

par 6. , 6, , 83 , etc. , les valeurs correspondantes de m

a* k 8 2^-8 2**8 sont -£-7-*, -x;-\ "xt2» etc-> ainsi 'a valeur particulière de

v est exprimée ainsi,

gi> = c~ax^'*,ycos. (fl 1* l/8~sin.

On peut mettre, au lieu de 8,, une des racines 8, , 8, , 8„ 84 , etc. , et l'on en composera une valeur plus générale exprimée par 1 équation

»v=fl,«^i^ yèos. (a^U^T. sin. q^dq

-4- a,e~~^t**j'co&. (a £^ l/8~ . sin. q^dq

+ j g~ *2*/*%Jco8. (2 £ l/êl . sin. ? ) H- etc.

. . . a% . . . a3 sont des coefficients arbitraires : la variable q disparaît après les intégrations qui doivent toutes avoir lieu depuis q = o jusqu'à q = ic.

Pour démontrer que cette valeur de v satisfait à toutes les conditions de la question et quelle en contient la solution générale, il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients ax y a, , «z, , d'après l'état initial. On reprendra l'équation

v=zate ,ux + a%e .ut + a}e .Wj + etc.

dans laquelle ulf u,, us sont les différentes valeurs que prend la fonction u ou

.1 — * + F + etc>

lorsqu'on met successivement au lieu de ^ les valeurs , g* y g* > etc- En faisant f=o,ona 1 équation

Y = atu, + a,ut + a, w, 4- etc. ,

dans laquelle V est une fonction donnée de x. Soit <px cette fonction, et représentons la fonction u. dont l'indice est i,

par »|» {xXSgî)' ®n aura

? a; = at ^ {x\SJ[) + a, (xl/f.) +a>$ {x\Zj,) + etc.

Pour déterminer le premier coefficient, on multipliera chacun des membres de l'équation par <ttdx, c, étant une fonction de Xy et l'on intégrera depuis x=o jusqu'à x=X: On déterminera cette fonction at , en sorte qu'après les intégrations le second membre se réduise au premier terme seulement, où se trouve le coefficient at, toutes les autres intégrales ayant une valeur nulle. Pour déterminer le second coefficient alf on multipliera pareillement les deux termes de l'équation ?x=atut + a%ut a%u3 ■+■ etc. par un autre facteur a, dx, et l'on intégrera depuis xz=o jusqu'à x=\. Le facteur a, devra être tel que toutes les intégrales du second membre s'évanouissent, excepté une seule, savoir, celle qui est affectée du coëflicient En général , on emploie une suite de fonctions de x désignées par <j, a, cj <r4 etc. qui correspondent aux fonctions u, , u, , u etc. ; chacun

de ces facteurs c a la propriété de faire disparaître par l'intégration tous les termes qui contiennent des intégrales définies excepté un seul ; on obtient de cette manière la valeur de chacun des coefficients etc. Il faut donc chercher

quelles sont les fonctions qui jouissent de la propriété dont il s'agit.

Chacun des termes du second membre de l'équation est une intégrale définie de cette forme a fa.u dx; u est une fonction de x qui satisfait à 1 équation

m d* u \ du

on aura donc a j <s.u dx= — j ^ + <*^)- En développant au moyen de l'intégration par parties les termes

o»a /(i^-rf*)=-C + ^-/-rf(i)

f d1 U j ^ du da f d*„ .

et jc — .dx^D + ^-u.^+juj^Jx.

Les intégrales devant être prises entre les limites #=0 et.r=X, on déterminera par cette condition les quantités qui entrent dans le développement , et ne sont point sous

le signe j*. Pour indiquer que Ton suppose x=o dans une

expression quelconque en x, on affectera cette expression de l'indice a; et on lui donnera l'indice « pour indiquer la