CHAPITRE VI

valeur que prend la fonction de x, lorsqu'on donne à cette variable x sa dernière valeur X.

On aura donc, en supposant x=o dans les deux équations précédentes

o=C + (^)ieto=D + (^..0.^)i,

on détermine ainsi les constantes C et D. Faisant ensuite x=X dans ces mêmes équations, et supposant que l'intégrale est prise depuis x = o jusqu'à ar=X, on aura

/G£^)=(«a-(«iW»<i)

on obtient ainsi l'équation

f du da a\

— ( -r-« — «-7- -KM- ) •

Si la quantité ^ qui multiplie « sous le signe

d'intégration dans le second membre était égale au produit

dç g par un coefficient constant, les termes

pourraient être réunis en un seul , et Ton obtiendrait pour l'intégrale cherchée f <s.u dx une valeur qui ne contiendrait que des quantités déterminées, et aucun signe d'intégration; Il ne resterait plus qua égaler cette valeur à zéro.

Supposons donc que le facteur a satisfasse à l'équation

différentielle du second ordre ^-^ — ) — o de

même que la fonction u satisfait à l'équation

m d* u i du

-ku + d-? + -xTx=°> m et n étant des coefficients constants, on aura n — m C j fdu dn v\ rdu do .\

U existe entre m et c une relation très-simple qui se découvre , lorsque dans l'équation ^ a + — d ( ^ ) = o, on

suppose a=x s; on a, par le résultat de cette substitution,

i équation ^ j + + —=Q> ce qU| fajt yojr ^ue ja

fonction s dépend de la fonction u donnée par l'équation

« . • i du

ïu + d^+ x7* = °-

Il suffit pour trouver s de changer m en n dans la valeur de «; on a désigné cette valeur de u par <f> (#^7) œ^e de <t sera donc x ^ J^.

On aura maintenant ^ c ■+- 1*-^ -f- «-=

dx dx x